forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 22 Μάιος 2018, 12:05

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: οχι δυσκολη
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Οκτ 2006, 00:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
Ας υποθεσουμε οτι (a)n ειναι μια ακολουθια που ικανοποιει τη σχεση
an+2 = an+1 + an με a1 =1, a2 = 1 και n>=1 (den ti xero :o).

+00
Που τεινει το Σ ( an/4^n - 1)
i=1

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Οκτ 2006, 02:17 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Θα σε πρήξω μέχρι αηδίας ώσπου να βάλεις μυαλό :P :lol:

[tex]\LaTeXe{}!!![/tex]

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Οκτ 2006, 02:49 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Η σειρά [tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{4^n}-1[/tex] αποκλίνει στο [tex]-\infty[/tex]:

Η [tex]a_n[/tex] είναι η ακολουθία Fibonacci. Επομένως μπορεί να γραφεί στη μορφή
<center>[tex]a_n = \frac{\varphi^n + (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}[/tex]</center>
όπου [tex]\varphi[/tex] είναι η χρuσή τoμή. Τότε
<center>[tex]\frac{a_n}{4^n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{\varphi}{4}\right)^n
+\left(\frac{1-\varphi}{4}\right)^n\right\}[/tex]</center>
Αφού [tex]\varphi<2[/tex], έπεται [tex]\left|\frac{\varphi}{4}\right|,\left|\frac{1-\varphi}{4}\right| < 1[/tex]. Άρα οι γεωμετρικές σειρές
<center>[tex]\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{\varphi}{4}\right)^n \qquad \text{\&}
\qquad \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1-\varphi}{4}\right)^n}[/tex]</center>
συγκλίνουν και επομένως θα συγκλίνει ο γραμμικός συνδυασμός τους
<center>[tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{4^n}[/tex]</center>
Και αφού [tex]\sum_{n=1}^\infty(-1) = -\infty[/tex], έπεται ότι το άθροισμα τους πηγαίνει επίσης στο [tex]-\infty[/tex].

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Οκτ 2006, 10:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
Προς eirik, o διαιρετης ειναι ο (4^n - 1).
Θα τη μαθω που θα παει.

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Οκτ 2006, 14:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Αύγ 2006, 16:43
Δημοσ.: 148
H σειρα ειναι η [tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{4^{n+1}}[/tex]
και ζητω συγνωμη απο τον eirik που εκατσε και ελυσε ασκηση με λαθος διατυπωση.
Οποτε η ακηση ειναι η εξης,

Ας υποθεσουμε οτι (a)n ειναι μια ακολουθια που ικανοποιει τη σχεση
an+2 = an+1 + an με a1 =1, a2 = 1 και n>=1 βρες το αθροισμα
[tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{4^{n+1}}[/tex]

Ας γραψω και τη λυση αφου τα εκανα μανταρα.

Συμβολιζουμε με S το [tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{4^{n+1}}[/tex]
οποτε,

[tex] S = \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \frac{2}{4^4} + \frac{3}{4^5} + \frac{5}{4^6} +...[/tex]

[tex] 4S = \frac{1}{4^1} + \frac{1}{4^2} + \frac{2}{4^3} + \frac{3}{4^4} + \frac{5}{4^5} + \frac{8}{4^6} ...[/tex]

[tex] 16S = \frac{1}{4^0} + \frac{1}{4^1} + \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} + \frac{5}{4^4} + \frac{8}{4^5} + \frac{13}{4^6} ...[/tex]

και ετσι [tex] S + 4S = 16S - 1, S = \frac{1}{11} [/tex]

_________________
http://ibiblio.org/


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group