forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Σεπ 2018, 02:11

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ένα δεύτερο περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Ιούλ 2010, 23:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Μάιος 2006, 13:21
Δημοσ.: 666
Σε πρόσφατες συζητήσεις στο λιμάνι της Ίου προέκυψε άλλο ένα ολοκλήρωμα :

I_n=\int_0^1 (1+nx)^x dx

Ίσως να μου διαφεύγει κάποιος κλειστός τύπος αλλά προς το παρόν μπορούμε να αποδείξουμε την ύπαρξη σταθερών M_1 , M_2 >0 ώστε M_1 \frac{n}{\log n} \leq I_n \leq M_2 
\frac{n}{\log n} \omega(n) για κάθε συνάρτηση \omega(n) που ικανοποιεί την \lim_{n \to + \infty}\omega(n)=+\infty.

Περαιτέρω επιλεπτύνσεις ή ακριβέστερες εκτιμήσεις είναι ευπρόσδεκτες με μεγάλη ευγνωμοσύνη.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα δεύτερο περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Ιούλ 2010, 09:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Καλημέρα Ευθύμη! Nομίζω ότι μπορείς να έχεις I_n\sim \frac{n}{\log n} , ίσως να κάνω και λάθος.

Θέτουμε f_n(x)=x\log (1+nx), οπότε είναι I_n=\int_0^1 e^{f_n(x)}\, dx. Τώρα παρατηρούμε ότι 0\leq f_n&#39;(x)< 1+\log (1+n) για κάθε x\in [0,1]. Άρα, έχουμε: n=\int_0^1 e^{f_n(x)}f_n&#39;(x)\, dx\leq (1+\log(1+n))I_n.

Επειδή, η x\mapsto e^{f_n(x)} και η x\mapsto f_n&#39;(x) έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας, από την ανισότητα του Chebyshev παίρνουμε: \int_0^1 e^{f_n(x)} f_n&#39;(x) \, dx\geq I_n\int_0^1 f_n&#39;(x)\, dx=I_n \log (1+n).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα δεύτερο περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Ιούλ 2010, 20:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Μάιος 2006, 13:21
Δημοσ.: 666
Καλησπέρα Πέτρο και σε ευχαριστώ !

Μπορεί και να λέω χαζομέρες αλλά στο ενδιάμεσο έχω καταλήξει ότι επιπλεόν μπορεί κάποιος να πει ότι
I_n=\frac{n}{\log n}-\frac{n}{\log^2 n} + O(n \frac{\log \log ^2 n}{\log^3 n})

Τα έχω καταγράψει αλλά βρίσκομαι σε ίντερνετ καφέ
(όπως λέμε το περιθώριο ήταν μικρό και δεν μπορώ να τα γράψω δηλαδή!)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group