forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 26 Σεπ 2018, 05:02

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 16 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιουν 2010, 17:20 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 22 Νοέμ 2009, 19:40
Δημοσ.: 26
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\int_{0}^{1}x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n})dx}}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιουν 2010, 23:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 15 Μαρ 2007, 12:37
Δημοσ.: 2388
Ποια ειναι η απαντηση; Ειναι 0? Δεν εχω κανει ακομα πολλες πραξεις κλπ αλλα μου φαινεται οτι θα μπορεις αν το φραξεις απο \frac{1}{p_k(n)} για καποια k(n) που παει στο απειρο - νομιζω η n/2 σου κανει.

Αναπτυξε το γινομενο και δες τι σειρα θα σου βγει.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Ιουν 2010, 00:15 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 22 Νοέμ 2009, 19:40
Δημοσ.: 26
kamenos έγραψε:
Αναπτυξε το γινομενο και ...

φοβάμαι ... :lol: (πραγματικά..) δεν έχω απάντηση δυστυχώς φίλε μου..


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Ιουν 2010, 02:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 15 Μαρ 2007, 12:37
Δημοσ.: 2388
Bλακειες εγραφα. Δεν μου βγαινει το φραξιμο. Προς το παρον το ξεχναω, παω για υπνο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Ιουν 2010, 03:52 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
Mία ιδέα να διατυπώσω, μπορεί να είναι και τελείως μπούρδα...

x^{\frac{n(n+1)}{2}}=x^{1+2+3+\cdots+n}=xx^2x^3\cdots x^n

οπότε

x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)=

x^n (1-x)x^{n-1}(1-x^2)\cdots x(1-x^n)=

(x^n-x^{n+1})(x^{n-1}-x^{n+1})\cdots (x-x^{n+1})

Ο μεγιστοβάθμιος όρος αυτού του γινομένου προφανώς είναι ο (-1)^nx^{n(n+1)} και φυσικά:

\int_0^1(-1)^n x^{n(n+1)}dx=(-1)^n\frac{1}{n^2+n+1}.

Κάπου εδώ κολλάω... Προφανώς και υπόλοιποι όροι του γινομένου θα είναι μονώνυμα του x, άρα όλα τα ολοκληρώματα θα βγαίνουν στη μορφή
(-1)^k\frac{1}{p(n)},\;k\leq n,\;degp\leq2

Η γνώμη μου είναι ότι το όριο κάνει 1, αλλά κάτι μου διαφεύγει...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Ιουν 2010, 12:09 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφή: 23 Ιουν 2009, 21:51
Δημοσ.: 346
karaf έγραψε:
Mία ιδέα να διατυπώσω, μπορεί να είναι και τελείως μπούρδα...

x^{\frac{n(n+1)}{2}}=x^{1+2+3+\cdots+n}=xx^2x^3\cdots x^n

οπότε

x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)=

x^n (1-x)x^{n-1}(1-x^2)\cdots x(1-x^n)=

(x^n-x^{n+1})(x^{n-1}-x^{n+1})\cdots (x-x^{n+1})

Ο μεγιστοβάθμιος όρος αυτού του γινομένου προφανώς είναι ο (-1)^nx^{n(n+1)} και φυσικά:

\int_0^1(-1)^n x^{n(n+1)}dx=(-1)^n\frac{1}{n^2+n+1}.

Κάπου εδώ κολλάω... Προφανώς και υπόλοιποι όροι του γινομένου θα είναι μονώνυμα του x, άρα όλα τα ολοκληρώματα θα βγαίνουν στη μορφή
(-1)^k\frac{1}{p(n)},\;k\leq n,\;degp\leq2

Η γνώμη μου είναι ότι το όριο κάνει 1, αλλά κάτι μου διαφεύγει...

δεν σου διαφευγει τιποτα,προφανως και κανει 1 το οριο..


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Ιουν 2010, 17:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Βασικά αν πάρεις νιοστή ρίζα στην έκφραση που έγραψε ο φίλος παραπάνω, και μετά πάρεις το όριο, αφού η ακολουθία n^{2} + n + 1 συγκλίνει στο 1 καθώς το n \to \infty, προκύπτει ότι το όριο είναι ίσο με -1. Πως βγαίνει το 1;

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Ιουν 2010, 18:11 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 22 Νοέμ 2009, 19:40
Δημοσ.: 26
vince έγραψε:
karaf έγραψε:
Mία ιδέα να διατυπώσω, μπορεί να είναι και τελείως μπούρδα...

x^{\frac{n(n+1)}{2}}=x^{1+2+3+\cdots+n}=xx^2x^3\cdots x^n

οπότε

x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)=

x^n (1-x)x^{n-1}(1-x^2)\cdots x(1-x^n)=

(x^n-x^{n+1})(x^{n-1}-x^{n+1})\cdots (x-x^{n+1})

Ο μεγιστοβάθμιος όρος αυτού του γινομένου προφανώς είναι ο (-1)^nx^{n(n+1)} και φυσικά:

\int_0^1(-1)^n x^{n(n+1)}dx=(-1)^n\frac{1}{n^2+n+1}.

Κάπου εδώ κολλάω... Προφανώς και υπόλοιποι όροι του γινομένου θα είναι μονώνυμα του x, άρα όλα τα ολοκληρώματα θα βγαίνουν στη μορφή
(-1)^k\frac{1}{p(n)},\;k\leq n,\;degp\leq2

Η γνώμη μου είναι ότι το όριο κάνει 1, αλλά κάτι μου διαφεύγει...

δεν σου διαφευγει τιποτα,προφανως και κανει 1 το οριο..

Δεν νομίζω ότι είναι τόσο απλά τα πράγματα. Νομίζω ότι αυτό που σκέπτεσαι είναι το εξής (αν κάνω λάθος διόρθωσέ με)

Ότι μέσα στο υπόριζο θα εμφανιστεί μια ρητή έκφραση του n, έστω P/Q με βαθμό του αριθμητή μικρότερο από αυτόν του παρονομαστή, άρα παίρνοντας το εκθετικό στην εκφραση που ψάχνουμε το όριο, θα εμφανιστεί στον εκθέτη το \frac{\ln(P/Q)}{n} το οποίο λόγω της ανισοτικής σχέσης των βαθμών στη ρητή έκφραση με de l hospital θα δώσει 0 και το e^{0} με τη σειρά του θα δώσει το 1.

Αυτό όμως που δεν έχει ληφθεί υπόψιν εδώ είναι ότι η ρητή έκφραση δεν είναι σταθερή, αλλά μεταβάλλεται και αυτή καθώς το n μεταβάλλεται, κατά συνέπεια αυτός ο τρόπος δεν δουλεύει..

Αν έχεις κάτι άλλο πάλι στο μυαλό σου, θα μπορούσες αν δεν κάνει κόπο να το γράψεις για να γίνει κουβέντα με χειροπιαστά επιχειρήματα...;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Ιουν 2010, 21:36 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Ιαν 2010, 18:38
Δημοσ.: 30
Τοποθεσια: Θεσσαλονίκη
stelvit έγραψε:
Βασικά αν πάρεις νιοστή ρίζα στην έκφραση που έγραψε ο φίλος παραπάνω, και μετά πάρεις το όριο, αφού η ακολουθία n^{2} + n + 1 συγκλίνει στο 1 καθώς το n \to \infty, προκύπτει ότι το όριο είναι ίσο με -1. Πως βγαίνει το 1;

η ακολουθία n^{2} + n + 1 αποκλίνει στο άπειρο...
αλλά abs((-1)^n/(n^2+n+1)) συγκλίνει στο 0
όμως \left(  \left| {\frac { \left( -1 \right) ^{n}}{{n}^{2}+n+1}}
 \right|  \right) ^{{n}^{-1}} συγκλίνει στο 1
όμως ένα πρόβλημα που υπάρχει , αν βγάλουμε τα απόλυτα προκύπτει (-1)^n μέσα στη ρίζα...
απλά έχουμε ένα πολυώνυμο του χ θετικό για 0<χ<1 , οπότε το ολοκλήρωμα θα έπρεπε να μας δώσει θετικό αριθμό...
γιαυτό δεν νομίζω να είναι σωστό να πάρουμε το όριο για τον μεγιστοβάθμιο όρο του πολυωνύμου...

αν πάλι ολοκληρώσεις όλους τους όρους του πολυωνύμου , τότε πάλι η ακολουθία θα συγκλίνει Απόλυτα στο 1
συγκλίνει όμως χωρίς το απόλυτο???


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιουν 2010, 08:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Το όριο δεν είναι 1 για τον εξής απλό λόγο: αν βάλω f_n(x)=x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n}) τότε \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=x^{n+1}(1-x^{n+1})\leq \frac{1}{4}. Έτσι, f_n(x)\leq \frac{x(1-x)}{4^{n-1}} και \int_0^1f_n(x)\,dx\leq\frac{1}{4^{n-1}}\int_0^1x(1-x)dx<\frac{1}{4^n}. Αν πάρω και τη n-οστή ρίζα, αυτή είναι κάτω από το ένα τέταρτο, πάντα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιουν 2010, 11:08 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 20 Ιαν 2010, 18:38
Δημοσ.: 30
Τοποθεσια: Θεσσαλονίκη
στάθης έγραψε:
Το όριο δεν είναι 1 για τον εξής απλό λόγο: αν βάλω f_n(x)=x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n}) τότε \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=x^{n+1}(1-x^{n+1})\leq \frac{1}{4}. Έτσι, f_n(x)\leq \frac{x(1-x)}{4^{n-1}} και \int_0^1f_n(x)\,dx\leq\frac{1}{4^{n-1}}\int_0^1x(1-x)dx<\frac{1}{4^n}. Αν πάρω και τη n-οστή ρίζα, αυτή είναι κάτω από το ένα τέταρτο, πάντα.

ωραία, και μετά έχεις
0\leq\int _{0}^{1}\!f_{{n}} \left( x \right) {dx}\leq  \left( {4}^{n}
 \right) ^{-1}
οπότε
0\leq  \left( \int _{0}^{1}\!f_{{n}} \left( x \right) {dx} \right) ^{{
n}^{-1}}
\leq  \left( {4} \right) ^{-1}

και στη συνέχεια το όριο πώς θα βγει 1/4 ??


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιουν 2010, 18:35 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφή: 23 Ιουν 2009, 21:51
Δημοσ.: 346
Dimitris_Nt έγραψε:
στάθης έγραψε:
Το όριο δεν είναι 1 για τον εξής απλό λόγο: αν βάλω f_n(x)=x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n}) τότε \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=x^{n+1}(1-x^{n+1})\leq \frac{1}{4}. Έτσι, f_n(x)\leq \frac{x(1-x)}{4^{n-1}} και \int_0^1f_n(x)\,dx\leq\frac{1}{4^{n-1}}\int_0^1x(1-x)dx<\frac{1}{4^n}. Αν πάρω και τη n-οστή ρίζα, αυτή είναι κάτω από το ένα τέταρτο, πάντα.

ωραία, και μετά έχεις
0\leq\int _{0}^{1}\!f_{{n}} \left( x \right) {dx}\leq  \left( {4}^{n}
 \right) ^{-1}
οπότε
0\leq  \left( \int _{0}^{1}\!f_{{n}} \left( x \right) {dx} \right) ^{{
n}^{-1}}
\leq  \left( {4} \right) ^{-1}

και στη συνέχεια το όριο πώς θα βγει 1/4 ??

μα δεν βγαινει 1/4..αυτο που παιρνει σαν δεδομενο ο αναστασης παραπανω δεν ισχυει..το οριο κανει 1 τελικα..


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιουν 2010, 21:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Dimitri, έγραψα ότι το όριο δεν είναι 1 και όχι ότι είναι 1/4 (και ναι, η n-οστή ρίζα του 4^n είναι 4, το έγραψα νομίζω κι αυτό). Vince, δεν την είδες την αιτιολόγηση? αυτή η f_n που ολοκληρώνετε φράσσεται κατά σημείο από 1/4^n, τι να κάνουμε?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Ιουν 2010, 00:57 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 22 Νοέμ 2009, 19:40
Δημοσ.: 26
vince έγραψε:
μα δεν βγαινει 1/4..αυτο που παιρνει σαν δεδομενο ο αναστασης παραπανω δεν ισχυει..το οριο κανει 1 τελικα..

Ποιό παίρνω σαν δεδομένο..; Έκανα μια υπόθεση για το τι μπορεί να σε οδήγησε στο ότι το όριο είναι 1, μιας και αρκέστηκες απλά στη διατύπωση αυτού του ισχυρισμού και όχι στην αιτιολόγησή του..Τελικά θα ήθελες να μας πεις τις σκέψεις σου...;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ένα περίεργο όριο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιούλ 2010, 21:02 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 18 Φεβ 2009, 01:42
Δημοσ.: 49
Τό υποτιθέμενο όριο (γιατί κανείς δέν μάς έχει πεί ότι υπάρχει), ή καλύτερα τό \liminf τής ακολουθίας είναι μακριά από τό 0, είναι \geq\frac{1}{e^2}.
Τό ολοκλήρωμα υπολογίζεται ακριβώς: μέ ολοκλήρωσι κατά παράγοντες βλέπουμε ότι
\int_0^1x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)dx =\int_0^1\left(\frac{x^{\frac{n(n+1)}{2}+1}}{n(n+1)/2+1}\right)&#39;(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)dx =\left[\frac{x^{\frac{n(n+1)}{2}+1}}{n(n+1)/2+1}(1-x)\cdots(1-x^n)\right]_0^1 -\int_0^1\frac{x^{\frac{n(n+1)}{2}+1}}{n(n+1)/2+1}\bigl((1-x)\cdots(1-x^n)\bigr)&#39;dx =\sum_{i=1}^n\frac{i}{n(n+1)/2+1} \cdot\int_0^1x^{\frac{n(n+1)}{2}+i}(1-x)\cdots(1-x^{i-1})(1-x^{i+1})\cdots(1-x^n)dx.

Μέ όμοιον τρόπο γιά κάθε i,
\int_0^1x^{\frac{n(n+1)}{2}+i}(1-x)\cdots(1-x^{i-1})(1-x^{i+1})\cdots(1-x^n)dx =\sum_{1\leq j\leq n,j\neq i}\frac{j}{n(n+1)/2+i+1} \cdot\int_0^1x^{\frac{n(n+1)}{2}+i+j}\prod_{1\leq l\leq n,i\neq l\neq j}(1-x^l)dx,
καί άρα
\int_0^1x^{n(n+1)/2}(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)dx =\sum_{1\leq i,j\leq n,i\neq j}\frac{ij}{(n(n+1)/2+1)(n(n+1)/2+i+1)} \cdot\int_0^1x^{\frac{n(n+1)}{2}+i+j}\prod_{1\leq l\leq n,i\neq l\neq j}(1-x^l)dx.

Τελικώς, μέ επαγωγή βλέπουμε ότι
\int_0^1x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)dx =\sum_{(i_1,\ldots,i_n)\in{\cal{S}}_n} \frac{i_1i_2\cdots i_n}{(n(n+1)/2+1)\prod_{1\leq l\leq n-1}(n(n+1)/2+i_1+\cdots+i_l+1)} \cdot\int_0^1x^{\frac{n(n+1)}{2}+i_1+\cdots+i_{n-1}+i_n}dx
=\sum_{(i_1,\ldots,i_n)\in{\cal{S}}_n} \frac{n!}{(n(n+1)/2+1)\prod_{1\leq l\leq n}(n(n+1)/2+i_1+\cdots+i_l+1)}.

Επομένως, a_n:=\int_0^1x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)dx \geq\frac{(n!)^2}{(n(n+1))^n(n(n+1)+1)}.

Από τόν τύπο τού Stirling, ο οποίος μάς λέει ότι γιά κάθε n, \sqrt{2\pi n}\bigl(\frac{n}{e}\bigr)^ne^{(12n+1)^{-1}}<n!<\sqrt{2\pi n}\bigl(\frac{n}{e}\bigr)^ne^{(12n)^{-1}}, καταλήγουμε ότι
\sqrt[n]{a_n}\geq\sqrt[n]{\frac{2\pi n\bigl(\frac{n}{e}\bigr)^{2n}}{(n(n+1))^n(n(n+1)+1)}} =\sqrt[n]{2\pi n(n(n+1)+1)^{-1}}\,\frac{n^2/e^2}{n(n+1)}, μέ τήν τελευταίαν ακολουθία νά τείνει στό \frac{1}{e^2}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 16 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group