forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Φεβ 2018, 03:42

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: f(x) = ? ? ?
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Μαρ 2006, 22:05 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Να βρεθουν οι συναρτήσεις f: \mathbb R \to \mathbb R, f\in C^1 που ικανοποιούν τη σχέση:
f(x) = xf \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Νομίζω το λύσαμε...!
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιουν 2006, 14:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Μου ήρθε μια ιδέα για αυτό το θέμα! :idea: Θα αποδείξουμε κάτι γενικότερο:
Παράθεση:
Αν f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} είναι μια συνεχής συνάρτηση στο 0 η οποία ικανοποιεί τη συναρτησιακή εξίσωση f(x)=xf\Big(\frac{x}{a}\Big) με a>1 τότε αυτή είναι η μηδενική.
Το παραπάνω θέμα είναι ειδική περίπτωση αυτού με a=\sqrt{3}. Επιπλεόν, παρατηρήστε ότι ο ισχυρισμός δεν προϋποθέτει η f να είναι C^1 δηλαδή συνεχώς παραγωγίσιμη, παρά μόνο τη συνέχεια της στο 0. Ας δούμε την απόδειξη:
Κάνοντας μια αντικατάσταση βρίσκουμε ότι f(0)=0. Επίσης με επαγωγή βρίσκουμε εύκολα ότι η f ικανοποιεί τη σ.ε. f\Big(\frac{x}{a^n}\Big)=a^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{x^n}f(x) για κάθε x\neq 0 και n\in\mathbb{N}. Check it! Υποθέτουμε τώρα ότι υπάρχει x_0\neq 0 τέτοιο ώστε f(x_0)\neq 0 και θα καταλήξουμε σε άτοπο. (Άρα είναι f(x)=0 για κάθε x\in\mathbb{R}.) Επειδή \frac{x_0}{a^n}\rightarrow 0 καθώς n\rightarrow \infty και η f είναι συνεχής στο 0 από την αρχή μεταφοράς έπεται ότι f\Big(\frac{x_0}{a^n}\Big)\rightarrow f(0)=0. Χρησιμοποιώντας τη σ.ε. βρίσκουμε ότι \lim_{n}\Big(a^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{x_0^n}\Big)=0 (γιατί; ) Όμως αν θέσουμε y_n=a^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{x_0^n} έχουμε ότι \Big|\frac{y_{n+1}}{y_n}\Big|=\frac{a^n}{|x_0|}\rightarrow\infty και άρα η (y_n) ΔΕ συγκλίνει στο 0, άτοπο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιουν 2006, 16:07 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Μπράβο!!!! Πολύ όμορφη λύση!

Ένας συμφοιτητής μου είχε περιγράψει μια άλλη λύση που απαιτούσε την [tex]f[/tex] είναι [tex]C^1[/tex] κι έφτανε στο ίδιο αποτέλεσμα, αλλά η παραπάνω είναι πραγματικά εύστοχη!

Υ.Γ. Ωραίο θεματάκι για απειροστικό Ι !!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Αφού το έλυσες λύσε και ένα άλλο!
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιουν 2006, 16:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3629
Τοποθεσια: Αθήνα
Προς Valettas Peter

Δες και ένα θέμα διαφορετικό:

Δίνεται η υποομάδα H=< \sqrt{2} , \sqrt{3} > της προσθετικής ομάδας (\mathbb{R} ,+) , των πραγματικών αριθμών, δηλαδή η υποομάδα της ομάδας των πραγματικών αριθμών με πράξη την πρόσθεση, που παράγεται από τους αριθμούς \sqrt{2} , \sqrt{3} .
α)Να εξετασθεί αν υπάρχει ελάχιστο μη-μηδενικό στοιχείο της Η.
β) Γενικά να βρεθούν πληροφορίες για τη δομή της Η

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Για Απειροστικό Ι?
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Ιουν 2006, 02:22 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Προς angelo

Νομίζω πως για Απειροστικό Ι είναι λίγο :evil: (Βέβαια προσφέρεται αν επιδιώκεις να γεμίσεις πολλά αμφιθέατρα! :P )Πιο πολύ μου κάνει για θέμα μαθηματικής Ολυμπιάδας! Συνήθως κάτι τέτοια βάζουν!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Ιουν 2006, 14:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
E εντάξει, είναι ωραία άσκηση για να την ακούσει η τάξη πάντως !


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Λίγο παραπέρα...
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Ιουν 2006, 22:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Θα ήθελα να το προχωρήσω λίγο περισσότερο αυτό το θέμα και να εξετάσουμε αν η νέα ασθενέστερη υπόθεση της συνέχειας στο 0 είναι πράγματι ουσιώδης. Δηλαδή, παραλείποντας την υπόθεση της συνέχειας στο 0 υπάρχει μια συνάρτηση που να ικανοποιεί την παραπάνω σ.ε. και να μην είναι η μηδενική;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιουν 2006, 15:34 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Απέδειξα ότι η συνάρτηση οπωσδήποτε θα είναι μηδενική για x= \alpha^k \ , \ k\in\mathbb Z. Ίσως αυτό μπορεί να επεκταθεί για οποιοδήποτε x\in\mathbb R.

*************************************
Είδαμε ότι για x \neq 0 ισχύει η αναδρομική σχέση:
f\left( \frac{x}{\alpha^n} \right) = \alpha^{\frac{n(n-1)}{2}} \frac{1}{x^n}f(x) \ , \ n\in\mathbb N

Έχουμε: f(1) = f\left( \frac{\alpha^n}{\alpha^n} \right) = \alpha^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{\alpha^{n^2}}f(\alpha^n)= \alpha^{-\frac n 2} f(\alpha^n)
δηλαδή τελικά: f(\alpha^n) = \alpha^{\frac n 2}f(1) \ \ \  (1)

Όμως: f(\alpha^n) = f\left( \frac{\alpha^{2n}}{\alpha^n} \right) = \alpha^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{\alpha^{2n^2}}f(\alpha^{2n}) \stackrel{(1)}{=}\alpha^{\frac{n(n-1)}{2}-2n^2} \alpha^n f(1)
τελικά: f(\alpha^n) = \alpha^{\frac{n(1-3n)}{2}} f(1) \ \ \  (2)

Από (1),(2) βλέπουμε ότι f(1)=\alpha^{\frac{n(1-4n)}{2}}f(1) \Rightarrow f(1)=0

Κι επειδή f\left(\frac{1}{\alpha^n}  \right) = \alpha^{\frac{n(n-1)}{2}}f(1) έχουμε τελικά:

f(0) = f(1) = f(\alpha^k) = 0 \ \ \ , \ \ \ k\in\mathbb Z


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Διόρθωση και απάντηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Ιουν 2006, 01:23 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Τελικά μπόρεσα να ορίσω μια συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} η οποία ικανοποιεί τη συναρτησιακή εξίσωση του προβλήματος και ΔΕΝ είναι η μηδενική.(Αυτή δεν είναι συνεχής στο 0). Το περιγράφω σύντομα παρακάτω:

Έστω a\in \mathbb{R} με a>1 και έστω Α=\{a^m:m\in \mathbb{Z}\}. Με τη βοήθεια του συνόλου Α ορίζουμε την ακόλουθη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} ως εξής:
    αν x\in A τότε f(a^m)=a^{\frac{m(m+1)}{2}}, \; m\in \mathbb{Z}
    αν x\notin A τότε f(x)=0
Tότε η f ικανοποιεί τη σ.ε. f(x)=xf\Big(\frac{x}{a}\Big) για κάθε x\in \mathbb{R}. (Παρατηρήστε ότι x\in A\Leftrightarrow \frac{x}{a}\in A.) Αυτή η συνάρτηση πράγματι δεν είναι συνεχής στο 0 αφού αν θεωρήσουμε την ακολουθία \Big(\frac{1}{a^n}\Big)_n τότε \frac{1}{a^n}\rightarrow 0 ενώ f(a^{-n})=a^{\frac{n(n-1)}{2}}\rightarrow\infty καθώς n\rightarrow \infty.
Τώρα ίσως να προβληματιστείς διότι έδειξες ότι μια τέτοια συνάρτηση μηδενίζεται πάνω στο Α ενώ εγώ όρισα μια που ικανοποιεί τα επιτάγματα του προβλήματος και δεν είναι μηδέν σε κανένα σημείο του Α. Αυτό συμβαίνει γιατί στην πρώτη γραμμή υπολογισμού σού έχει ξεφύγει ένα λάθος όπου υπολογίζεις f(1)=a^{-\frac{n}{2}}f(a^n). Στην πραγματικότητα είναι f(1)=a^{-\frac{n(n+1)}{2}}f(a^n).

Υ. Γ. Νομίζω ότι τώρα έχουμε μια πιο ξεκάθαρη εικόνα των συναρτήσεων που ικανοποιούν τη δοθείσα σ.ε. :roll:

Υ.Γ.2 Να συμπληρώσω ότι ισχύει ο τύπος f(a^m)=a^{\frac{m(m+1)}{2}}f(1),\; m\in \mathbb{Z} για κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη σ.ε. του προβλήματος (Check it!). Εγώ στο παραπάνω παράδειγμα επέλεξα f(1)=1 και έφτιαξα μια συνάρτηση που δεν είναι μηδενική. Για κάθε επιλογή της τιμής του f(1) φτιάχνουμε και από μια τέτοια συνάρτηση.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Ιουν 2006, 13:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
My mistake!!

Ναι τώρα η εικόνα είναι πράγματι πλήρης.. Πολύ καλό!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Ιουν 2006, 14:48 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3629
Τοποθεσια: Αθήνα
Μπάβο παιδιά. Νομίζω και εγώ ότι είναι σωστό. Όμως χρειάζεται πλήρης έλεγχος

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group