forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 17 Νοέμ 2018, 02:21

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Αντιστροφοι των ζ(n) και πιθανοτητες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μαρ 2010, 01:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 15 Μαρ 2007, 12:37
Δημοσ.: 2388
Διαβαζουμε το εξης:

Αν διαλεξουμε τρεις πραγματικους αριθμους στο διαστημα [0,1], ποια ειναι η πιθανοτητα το αθροισμα τους να ειναι μεγαλυτερο απο 1;
Ειναι 1/ζ(3).

Ισχυει κατι γενικοτερο για n πραγματικους; Πισττευω πως λογικα ναι. Ξερει κανεις πως αποδεικνυεται;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αντιστροφοι των ζ(n) και πιθανοτητες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μαρ 2010, 15:26 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Αν οι X_1,\ldots ,X_n είναι ομοιόμορφες στο [0,1] και S_n=X_1+\cdots +X_n τότε αυτή η S_n έχει συνάρτηση κατανομής F_n(x)=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^k{n\choose k}(x-k)^n για 0< x<n που είναι το ενδιαφέρον. Πάει να πει, F_n(1)=\frac{1}{n!} και η πιθανότητα που ρωτάς είναι 1-\frac{1}{n!}. Νομίζω.

Για να βρεις την F_n θα υπολογίσεις πρώτα την πυκνότητα της S_n. Συνέλιξη θα κάνεις και επαγωγή στο n. Αυτό με το \zeta (3) δεν ξέρω πού το είδες αλλά ή εγώ είμαι λάθος ή αυτό.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αντιστροφοι των ζ(n) και πιθανοτητες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μαρ 2010, 22:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 3026
Σωστός είναι ο Στάθης. Γεωμετρικά, για κάθε 0<x<n, F_n(x) είναι ο όγκος της τομής του κύβου [0,1]^n με το \Delta (x)=\{ y=(y_1,\ldots ,y_n)\in {\mathbb R}^n: y_1+\cdots +y_n\leq x,\,y_i\geq 0\}. Αν x=1 τότε \Delta (x)\subseteq [0,1]^n. Υπολογίζεται ότι {\rm vol}(\Delta (x))=\frac{x^n}{n!}, άρα {\rm vol}(\Delta (1))=\frac{1}{n!}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Αντιστροφοι των ζ(n) και πιθανοτητες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μαρ 2010, 23:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 638
....το οποίο με την σειρά του δείχνει ότι αν μετά την επιλογή τού n-ού αριθμού, το άθροισμα τών αριθμών υπερβεί για πρώτη φορά τό 1 ...η αναμενόμενη τιμή για το n είναι ;;;;;;;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αντιστροφοι των ζ(n) και πιθανοτητες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Μαρ 2010, 00:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Αν πεις f_n την πυκνότητα της S_n, αυτή είναι f_n(x)=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} για 0\leq x\leq 1. Τότε {\mathbb P}(S_n<1, S_{n+1}>1)=\int_0^1{\mathbb P}(X_{n+1}>1-x)f_n(x)\,dx=\int_0^1xf_n(x)\,dx=\frac{1}{(n-1)!(n+1)}. Μετά, η μέση τιμή που ζητάς είναι το \sum_{n=1}^{\infty }(n+1){\mathbb P}(S_n<1,S_{n+1}>1)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n-1)!}=e. Με θετική πιθανότητα λάθους.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αντιστροφοι των ζ(n) και πιθανοτητες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Μαρ 2010, 15:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 15 Μαρ 2007, 12:37
Δημοσ.: 2388
Σωστα. Εκανα λαθος, ζητω συγνωμη. Ξανασυμβουλευτηκα τις πηγες μου.

Ποια ειναι η πιθανοτητα αμα διαλεξουμε τρεις φυσικους στην τυχη, να μην εχουν κανεναν κοινο παραγοντα;
Αυτη η πιθανοτητα λεει πως ειναι 1/ζ(3).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αντιστροφοι των ζ(n) και πιθανοτητες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Μαρ 2010, 17:34 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 04 Μάιος 2006, 13:21
Δημοσ.: 666
kamenos έγραψε:
Ποια ειναι η πιθανοτητα αμα διαλεξουμε k φυσικους στην τυχη, να μην εχουν κανεναν κοινο παραγοντα;
Αυτη η πιθανοτητα λεει πως ειναι 1/ζ(k).


Για κ>2 η ζητουμενη πιθανοτητα ειναι \frac{1}{x^k} \# \{1 \leq n_1,..,n_k \leq x : (n_1,..,n_k)=1\} καθως x \rightarrow \infty

Χρησιμοποιωντας την \sum_{d|m} \mu(d)=[1/m],m>0 για m=(n_1,..,n_k) έχουμε
\# \{1 \leq n_1,..,n_k \leq x : (n_1,..,n_k)=1\} =\sum_{n_1 \leq x} \sum_{n_2 \leq x}...\sum_{n_k \leq x} (\sum_{d|n_1,..,n_k} \mu(d))= \sum_{d \leq x} \mu(d) \sum_{n_1 \leq x,d|n_1}1...\sum_{n_k \leq x, d|n_k}1= \sum_{d \leq x} \mu(d)[x/d]^k= \sum_{d \leq x} \mu(d)((x/d)^k+O((x/d)^{k-1})=x^k(\frac{1}{\zeta(k)}+O(\sum_{d>x}\frac{1}{d^k}))+O(x^{k-1})= \frac{x^k}{\zeta(k)}+O(x^{k-1}).

(Η ίδια σχέση ικανοποιείται για κ=2 με μια μικρη αλλαγη λιγο πριν το τελος των υπολογισμων.)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group