forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 27 Μάιος 2018, 03:39

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ανισότητες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Σεπ 2006, 23:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Παρακάτω δίνονται κάποιες ανισότητες των οποίων η απόδειξη οφείλεται σε κλασικά επιχειρήματα κυρτότητα ή σε χρήση άλλων ανισοτήτων που αποτελούν συνέπειες κυρτότητας κατάλληλων κυρτών συναρτήσεων σε συνδυασμό με την ανισότητα Jensen.

(α) [tex]\frac{x+1}{x}<\frac{\log(1-\sin x)}{\log(\cos x)}<\frac{x+2}{x}[/tex] για [tex]0<x<\frac{\pi}{2}[/tex].

(β) Aν [tex]a,b,c,d>0[/tex] και [tex]\lambda\in (0,1)[/tex] τότε: [tex]a^\lambda c^{1-\lambda}+b^\lambda d^{1-\lambda}\leq (a+b)^\lambda(c+d)^{1-\lambda}.[/tex]

(γ) Αν [tex]x,y,z>0[/tex], τότε: [tex]\left(\frac{x}{y}\right)^y\left(\frac{y}{z}\right)^z\left(\frac{z}{x}\right)^x\leq 1[/tex]. [Υπόδειξη. Χρησιμοποιήστε την ανισότητα [tex]e^x\geq ex[/tex]].

(δ) Έστω [tex]x\in\mathbb R[/tex] και [tex]a,b,c>0[/tex] ώστε [tex]a\sin^2x+b\cos^2x<c[/tex]. Τότε, [tex]\sqrt{a}\sin^2x+\sqrt{b}\cos^2x<\sqrt{c}[/tex].

(ε) Έστω [tex]a\in \mathbb R[/tex] και [tex]x,y>0[/tex]. Τότε, [tex]x^{\sin^2a}\cdot y^{\cos^2a}<x+y[/tex].

(στ) (Ανισότητα Kepler) Αν [tex]0<x<y[/tex], τότε: [tex] \sqrt{xy}<\frac{x-y}{\log x-\log y}<\frac{x+y}{2}[/tex].

(ζ) (Ανισότητα Jordan) Αν [tex]0<x<\pi/2[/tex], τότε: [tex]\frac{2}{\pi}<\frac{\sin x}{x}<1[/tex].

(η) (Ανισότητα Αριστάρχου) Αν [tex]0<a<b<\pi/2[/tex], τότε: [tex]\frac{a}{b}<\frac{\sin a}{\sin b}<\frac{\pi}{2}\cdot\frac{a}{b}[/tex].

(θ) (1η Ανισότητα Huygens) Αν [tex]0<x<\pi/2[/tex], τότε: [tex]2\sin x+\tan x>3x[/tex].

(ι) (2η Ανισότητα Huygens) Αν [tex]x>0[/tex], τότε [tex]x(2+\cos x)>3\sin x[/tex].

(ια) Αν [tex]a,b\in (0,1)[/tex], τότε: [tex]a^b+b^a>1[/tex].

(ιβ) (Ανισότητα Polya) Αν [tex]0<a<b[/tex], τότε: [tex]\frac{a-b}{\log a-\log b}<\frac{1}{3}\left(2\sqrt{ab}+\frac{a+b}{2}\right)[/tex].

(ιγ) Αν [tex]a_1,a_2,\dots,a_n>0[/tex], τότε: [tex]\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^{\sum_{i=1}^na_i}>\prod_{i=1}^na_i^{a_i}\geq \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i\right)^{\sum_{i=1}^na_i}\geq \left(\prod_{i=1}^na_i\right)^{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i}[/tex]


Τελευταία επεξεργασία απο Valettas Peter την 08 Μάιος 2007, 01:47, επεξεργάστηκε 5 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Συναρτησιακές Ανισότητες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Σεπ 2006, 10:13 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Για μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση [tex]f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}[/tex] ορίζεται η μέση τιμή της ως: [tex]\mathcal M(f)\equiv\overline{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\equiv\frac{1}{b-a}\int_a^bf[/tex].

1. ( Aνισότητα Chebyshev) Έστω δυο μονότονες συναρτήσεις [tex]f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}[/tex] με το ίδιο είδος μονοτονίας, τότε ισχύει: [tex]\mathcal M(fg)\geq \mathcal M(f)\cdot \mathcal M(g)[/tex]. M' άλλα λόγια [tex]\int_a^bf(x)g(x)\,dx\geq \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx\int_a^bg(x)\,dx[/tex].
Η ανισότητα είναι αντίστροφη αν οι συναρτήσεις έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας.

2. ( Ανισότητα Gronwall ) Έστω [tex]f,g:[a,b]\to \mathbb R^+[/tex] συνεχείς συναρτήσεις και [tex]C[/tex] θετική σταθερά ώστε [tex]f(x)\leq C+\int_a^xf(t)g(t)\, dt[/tex] για κάθε [tex]x\in [a,b][/tex]. Τότε, [tex]f(x)\leq Ce^{\int_a^xg(t)\, dt}[/tex] για κάθε [tex]x\in [a,b][/tex].

3. (Ανισότητα Young) Έστω [tex]f:[0,\infty)\to \mathbb R[/tex], παραγωγίσιμη, γνησίως αύξουσα ώστε [tex]f(0)=0[/tex]. Τότε για κάθε [tex]a,b>0[/tex] ισχύει [tex]ab\leq \int_0^af(x)\, dx+\int_0^bf^{-1}(x)\, dx[/tex]. [Υπόδειξη. Σταθεροποιήστε ένα [tex]a>0[/tex] και θεωρήστε τη συνάρτηση [tex]\phi_a:[0,\infty)\to \mathbb R[/tex] με [tex]\phi_a(x)=\int_0^af+\int_0^xf^{-1}-ax[/tex] και δείξτε ότι παρουσιάζει ελάχιστο στο [tex]f(a)[/tex].]

4. Έστω [tex]f:\mathbb R\to \mathbb R[/tex] παραγωγίσιμη συνάρτηση, κυρτή και [tex]g:\mathbb R\to \mathbb R[/tex] συνεχής. Αποδείξτε ότι [tex]f\left(\int_0^1g(t)\,dt\right)\leq\int_0^1f(g(t))\,dt[/tex].

5. (Aνισότητα Prekopa-Leindler στο [tex]\mathbb R[/tex]) Έστω [tex]f,g,h:[a,b]\to \mathbb R^+[/tex] συνεχείς και [tex]\lambda\in (0,1)[/tex]. Αν για κάθε [tex]s,t\in [a,b][/tex] ισχύει [tex]h(\lambda s+(1-\lambda)t)\geq (f(s))^\lambda(g(t))^{1-\lambda}[/tex], τότε έχουμε [tex]\int_a^bh(t)\, dt\geq \left(\int_a^bf(t)\,dt\right)^\lambda\left(\int_a^bg(t)\,dt\right)^{1-\lambda}[/tex].
[Υπόδειξη. Θεωρήστε τις συναρτήσεις [tex]x,y:[0,1]\to [a,b][/tex] που ορίζονται μέσω των [tex]\int_a^{x(t)}f(u)\, du=t\int_a^bf(u)\,du[/tex] και [tex]\int_a^{y(t)}g(u)\, du=t\int_a^bg(u)\,du[/tex]. Αποδείξτε ότι είναι παραγωγίσιμες και ικανοποιούν την [tex]z'(t)h(z(t))\geq (x'(t)f(x(t)))^\lambda(y'(t)g(y(t)))^{1-\lambda}[/tex] για κάθε [tex]t\in [0,1][/tex], όπου [tex]z(t)=\lambda x(t)+(1-\lambda)y(t)[/tex] ο κυρτός συνδυασμός των [tex]x,y[/tex].]


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group