forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Νοέμ 2018, 20:13

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ολοκληρώματα Lebesgue
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Ιαν 2010, 14:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Μαρ 2008, 12:28
Δημοσ.: 456
Τοποθεσια: N. Kόσμος (τον παλιό τον γκρεμίσαμε!)
(α) Αν f(t)=e^{-t} για t \ge 0, να δειχτεί ότι η f είναι Lebesgue-ολοκληρώσιμη στο \mathbb{R}^{+} και να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα της.

(β) Να εξεταστεί αν υπάρχουν τα ολοκληρώματα Lebesgue
\int_{\mathbb{R}}sint dm(t), \int_{\mathbb{R}}|sint| dm(t)
(όπου m το μέτρο στο \mathbb{R}^)και αν κάποιο από αυτά ορίζεται να υπολογιστεί.

_________________
"C'est par la logique qu'on démontre, c'est par l'intuition qu'on invente."
(Henri Poincaré)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ολοκληρώματα Lebesgue
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιαν 2010, 12:05 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
(α) Συνεχής είναι, άρα μετρήσιμη. Πάρε την f_n=f\cdot \chi_{[0,n]}. Έχει ολοκλήρωμα \int_{[0,n]}e^{-t}dt=1-e^{-n} (είναι το ίδιο με το Riemann, λόγω συνέχειας). Η (f_n) συγκλίνει μονότονα στην f, από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης παίρνεις ολοκλήρωμα 1.

(β) Η f είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν η |f| είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη. Πάει να πει, κοιτάς μόνο το \int_{{\mathbb R}}|\sin t|\,dm(t). Αυτό είναι άπειρο γιατί, για κάθε n, είναι μεγαλύτερο από το \int_0^{n\pi }|\sin t|\,dm(t)=n\int_0^{\pi }\sin t\,dm(t)=2n.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group