forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 17 Νοέμ 2018, 01:59

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Μία ανίσωση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2010, 14:27 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 18 Μαρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 303
Τοποθεσια: Κερατσίνι
Ας είναι f μία θετική και παραγωγίσιμη συνάρτηση με p\geq0. Να αποδείξετε ότι \left(\int_{0}^{y}f^{p}\sqrt{f^{2}+f'^{2}}\right)^{p+2}\geq y\left(\int_{0}^{y}f^{p+2}\right)^{p+1} με y\leq\frac{\pi}{\sqrt{p+1}} (η ισότητα να ισχύει όταν f σταθερή).

Καμία καλή ιδέα;

_________________
Ζήσε τα μαθηματικά σου!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μία ανίσωση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2010, 15:23 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Κοίτα εδώ κι εδώ και όταν υπάρχουν νεώτερα μας λες. Το ίδιο κι εμείς.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Μία ανίσωση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Ιαν 2010, 23:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 638
Αρχίζουμε πρώτα με p=0 για να δούμε περι τίνος πρόκειται..Πρός απόδειξιν επομένως :

\left ( \int_{0}^{y}\sqrt{f^{2}+f{'}^{2}}\right )^{2}\geq y\int_{0}^{y}f^{2}

Ξεκινάμε από την γνωστή ισοπεριμετρική ανισότητα L^{2}\geq 4\pi E όπου L είναι το μήκος καμπύλης \gamma και E το εμβαδόν τής περικλειομένης επιφάνειας.
Παραμετρίζουμε στο 0\leq t\leq 2\pi ως εξής : Θεωρούμε s την παράμετρο μήκους τόξου 0\leq s\leq L και θέτουμε νέα παράμετρο t=\frac{2\pi }{L}s. Οπότε για 0\leq t\leq 2\pi έχουμε :

L=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{[x{}'(t)]^{2}+[y{}'(t)]^{2}}dt
και
E=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi } \left [ x(t){y}'(t)-y(t){x}'(t) \right ]dt

Εισάγουμε πολικές συντεταγμένες, οπότε η καμπύλη \gamma έχει εξίσωση την r=f(\vartheta) με x=r(\theta )\cos \vartheta και y=r(\theta )\sin \vartheta.
Κάνουμε στοιχειώδεις πράξεις και τελικά :

L=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{f^{2}+{f}'^{2}}
και
E=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }f^{2}

Αντικαθιστούμε στην ισομετρική ανισότητα και :

\left ( \int_{0}^{2\pi }\sqrt{f^{2}+f{'}^{2}}\right )^{2}\geq 2\pi \int_{0}^{2\pi }f^{2}

Η σταθερά είναι διαφορετική... ή εγώ έχω λάθος ή η άσκηση..

Αποκαλυπτικός

ΥΣ
Συνεχίζεται...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Μία ανίσωση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Φεβ 2010, 16:52 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 638
Μπερδεύτηκα λίγο...έσβησα κατα λάθος το προηγούμενο...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μία ανίσωση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Απρ 2010, 22:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Και όλα να τα σβήσεις δεν θα πειράξει και πολύ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group