forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Σεπ 2018, 02:11

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ορισμένο ολοκλήρωμα με παράμετρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2009, 14:23 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 22 Νοέμ 2009, 19:40
Δημοσ.: 26
Ας υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \[ \displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{2a-2\cos x}{1+a^{2}-2a\cos x}dx \] για τις διάφορες τιμές του a\in\mathbb{R}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ορισμένο ολοκλήρωμα με παράμετρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2009, 17:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Θα γράψεις τη συνάρτηση έτσι: \frac{2a-2\cos x}{1+a^2-2a\cos x}=\frac{1}{a}\left ( 1-\frac{1-a^2}{1-2a\cos x+a^2}\right ).

Μετά έχεις ολοκλήρωμα \frac{\pi }{a} μείον το \frac{1}{a}\int_0^{\pi }\frac{1-a^2}{1-2a\cos x+a^2}\,dx. Ένας στοιχειώδης μετασχηματισμός είναι ο (1+a^2)-2a\cos x= (1+a^2)\cos^2\frac{x}{2}+(1+a^2)\sin^2\frac{x}{2}-2a\cos^2\frac{x}{2}+2a\sin^2\frac{x}{2}=(1-a)^2\cos^2\frac{x}{2}+(1+a)^2\sin^2\frac{x}{2}. Μετά πας στο \frac{1-a^2}{a}\int_0^{\pi }\frac{1}{1-2a\cos x+a^2}\,dx, αλλάζεις τον παρονομαστή και κάνεις την αντικατάσταση u=\tan\frac{x}{2}. Θα βγει πόσο κάνει.

Αυτή η P_a(x)=\frac{1-a^2}{1-2a\cos x+a^2} είναι ο πυρήνας του Poisson που λένε και την έχουνε μελετήσει. Αν το ολοκλήρωμά σου ήταν από -\pi μέχρι \pi θα βγαίνανε όλα από τα γνωστά εκεί.

-Αν a=0 δεν έχει ενδιαφέρον.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα με παράμετρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2009, 20:16 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 22 Νοέμ 2009, 19:40
Δημοσ.: 26
στάθης έγραψε:
Θα γράψεις τη συνάρτηση έτσι: \frac{2a-2\cos x}{1+a^2-2a\cos x}=\frac{1}{a}\left ( 1-\frac{1-a^2}{1-2a\cos x+a^2}\right ).

Μετά έχεις ολοκλήρωμα \frac{\pi }{a} μείον το \frac{1}{a}\int_0^{\pi }\frac{1-a^2}{1-2a\cos x+a^2}\,dx. Ένας στοιχειώδης μετασχηματισμός είναι ο (1+a^2)-2a\cos x= (1+a^2)\cos^2\frac{x}{2}+(1+a^2)\sin^2\frac{x}{2}-2a\cos^2\frac{x}{2}+2a\sin^2\frac{x}{2}=(1-a)^2\cos^2\frac{x}{2}+(1+a)^2\sin^2\frac{x}{2}. Μετά πας στο \frac{1-a^2}{a}\int_0^{\pi }\frac{1}{1-2a\cos x+a^2}\,dx, αλλάζεις τον παρονομαστή και κάνεις την αντικατάσταση u=\tan\frac{x}{2}. Θα βγει πόσο κάνει.

Αυτή η P_a(x)=\frac{1-a^2}{1-2a\cos x+a^2} είναι ο πυρήνας του Poisson που λένε και την έχουνε μελετήσει. Αν το ολοκλήρωμά σου ήταν από -\pi μέχρι \pi θα βγαίνανε όλα από τα γνωστά εκεί.

-Αν a=0 δεν έχει ενδιαφέρον.

Ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σου! Τα σχετικά με τον πυρήνα Poisson δεν τα είχα υπ' όψιν. Η άσκηση είναι από εδώ


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group