forum.math.uoa.gr
http://forum.math.uoa.gr/

Καλύψεις
http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=37&t=6110
Σελίδα 1 από 1

Συγγραφέας:  στάθης [ 27 Αύγ 2009, 14:27 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Καλύψεις

Άσκηση 1. Δίνεται ανοιχτό φραγμένο σύνολο A\subset {\mathbb R}^k. Με m το μέτρο Lebesgue, να δειχτεί ότι:

(α) Δεν υπάρχει ακολουθία \{ B_n\} από ανοιχτές μπάλες τέτοια που: όλες οι B_n περιέχονται στο A, κάθε x\in A ανήκει σε άπειρες B_n και \sum_{n=1}^{\infty }m(B_n)<\infty.

(β) Υπάρχει ακολουθία \{ B_n\} από ανοιχτές μπάλες τέτοια που: A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty }B_n, κάθε x\in A ανήκει σε άπειρες B_n και για κάθε p>1 είναι \sum_{n=1}^{\infty }[m(B_n)]^p<\infty.

Συγγραφέας:  στάθης [ 08 Σεπ 2009, 17:56 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Καλύψεις

Άσκηση 2. Δίνεται ακολουθία \{ a_n\} θετικών αριθμών με \sum_{n=1}^{\infty }a_n=+\infty. Δίνεται και μια ακολουθία τετραγώνων T_n στο επίπεδο τέτοια που κάθε T_n να έχει εμβαδόν a_n. Να δειχτεί ότι υπάρχουν σημεία u_n τέτοια που η ένωση των μεταφορών u_n+T_n να καλύπτει ολόκληρο το επίπεδο.

Συγγραφέας:  stranger [ 28 Ιούλ 2017, 02:55 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: Καλύψεις

Γραφω για το 1(α).Επειδη η latex βγαζει error θα στο πω με λογια.Εστω οτι υπαρχει τετοια ακολουθια συνολων B_n.
Παιρνουμε το συνολο E που ειναι το limsup των B_n.Ως γνωστον ειναι το συνολο των σημειων που ανηκουν σε απειρα B_n.
Αρα απο υποθεση Α=Ε.Ομως το μετρο του E ειναι μικροτερο απο τη σειρα απο το n στο απειρο των μετρων των B_n για καθε n.
Ομως αυτη η σειρα συγκλινει,αρα το μετρο του E ειναι μηδεν,αρα το A ειναι το κενο συνολο(αφου ειναι ανοιχτο).

Σελίδα 1 από 1 Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/