forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Σεπ 2017, 22:30

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Καλύψεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Αύγ 2009, 14:27 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Άσκηση 1. Δίνεται ανοιχτό φραγμένο σύνολο A\subset {\mathbb R}^k. Με m το μέτρο Lebesgue, να δειχτεί ότι:

(α) Δεν υπάρχει ακολουθία \{ B_n\} από ανοιχτές μπάλες τέτοια που: όλες οι B_n περιέχονται στο A, κάθε x\in A ανήκει σε άπειρες B_n και \sum_{n=1}^{\infty }m(B_n)<\infty.

(β) Υπάρχει ακολουθία \{ B_n\} από ανοιχτές μπάλες τέτοια που: A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty }B_n, κάθε x\in A ανήκει σε άπειρες B_n και για κάθε p>1 είναι \sum_{n=1}^{\infty }[m(B_n)]^p<\infty.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Καλύψεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Σεπ 2009, 17:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Άσκηση 2. Δίνεται ακολουθία \{ a_n\} θετικών αριθμών με \sum_{n=1}^{\infty }a_n=+\infty. Δίνεται και μια ακολουθία τετραγώνων T_n στο επίπεδο τέτοια που κάθε T_n να έχει εμβαδόν a_n. Να δειχτεί ότι υπάρχουν σημεία u_n τέτοια που η ένωση των μεταφορών u_n+T_n να καλύπτει ολόκληρο το επίπεδο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Καλύψεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Ιούλ 2017, 02:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 299
Γραφω για το 1(α).Επειδη η latex βγαζει error θα στο πω με λογια.Εστω οτι υπαρχει τετοια ακολουθια συνολων B_n.
Παιρνουμε το συνολο E που ειναι το limsup των B_n.Ως γνωστον ειναι το συνολο των σημειων που ανηκουν σε απειρα B_n.
Αρα απο υποθεση Α=Ε.Ομως το μετρο του E ειναι μικροτερο απο τη σειρα απο το n στο απειρο των μετρων των B_n για καθε n.
Ομως αυτη η σειρα συγκλινει,αρα το μετρο του E ειναι μηδεν,αρα το A ειναι το κενο συνολο(αφου ειναι ανοιχτο).

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group