forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Σεπ 2018, 02:44

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 33 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Αύγ 2009, 20:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 14 Απρ 2009, 01:52
Δημοσ.: 111
Άσκηση 1 Δίνεται μια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων f_n:[a,b]\to {\mathbb R} που έχουν την παρακάτω ιδιότητα: για κάθε x\in [a,b] μπορούμε να βρούμε n\neq m τέτοιους ώστε f_n(x)=f_m(x). Μας ζητάνε να δείξουμε ότι υπάρχει υποδιάστημα [\gamma ,\delta ]\subset [a,b] και υπάρχουν n\neq m έτσι ώστε οι f_n και f_m να είναι ίσες στο [\gamma ,\delta ].

_________________
Άλλο τι λέμε κι άλλο τι κάνουμε - Αλκιβιάδης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Αύγ 2009, 23:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Baire: για κάθε n\neq m το A_{n,m}=\{ x\in [a,b]:f_n(x)=f_m(x)\} είναι κλειστό (από τη συνέχεια των f_n) και η ένωση των A_{n,m} είναι ολόκληρο το [a,b] (από την υπόθεση). Τώρα κάποιο απ'όλα αυτά πρέπει να'χει μη κενό εσωτερικό, πάει να πει να περιέχει ένα [\gamma ,\delta ].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Αύγ 2009, 08:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 14 Απρ 2009, 01:52
Δημοσ.: 111
Ευχαριστώ πολύ, έχω κι άλλη μία.

Άσκηση 2 Μας ρωτάνε αν υπάρχει ακολουθία συνεχών θετικών συναρτήσεων f_n:{\mathbb R}\to (0,+\infty ) με την ιδιότητα (α) η ακολουθία f_n(x) να είναι φραγμένη αν και μόνο αν x\in {\mathbb Q} ή (α) η ακολουθία f_n(x) να είναι φραγμένη αν και μόνο αν x\notin {\mathbb Q}.

_________________
Άλλο τι λέμε κι άλλο τι κάνουμε - Αλκιβιάδης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Αύγ 2009, 18:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Καημένος έγραψε:
Άσκηση 2 Μας ρωτάνε αν υπάρχει ακολουθία συνεχών θετικών συναρτήσεων f_n:{\mathbb R}\to (0,+\infty ) με την ιδιότητα (α) η ακολουθία f_n(x) να είναι φραγμένη αν και μόνο αν x\in {\mathbb Q} ή (α) η ακολουθία f_n(x) να είναι φραγμένη αν και μόνο αν x\notin {\mathbb Q}.


Για την πρώτη περίπτωση: για κάθε (m,n)\in \mathbb Z\times \mathbb N με \gcd(m,n)=1 ορίζουμε f_{m,n}:\mathbb R\to (0,\infty) ως εξής: f_{m,n}(x)=\left\{\begin{array}{ll} n, & x\in [m/n-1/n^2,m/n+1/n^2]\\
\frac{1}{|nx-m|}, & x\notin [m/n-1/n^2,m/n+1/n^2]\end{array}\right. Παρατηρούμε ότι κάθε f_{m,n} είναι συνεχής και ότι αν x\notin \mathbb Q τότε \sup_{m,n}f_{m,n}(x)=+\infty από το θεώρημα προσέγγισης του Dirichlet.
Από την άλλη μεριά αν q=\frac{a}{b} με \gcd(a,b)=1 τότε τα ζεύγη (m,n) με \gcd(m,n)=1 τα οποία ικανοποιούν την \left|\frac{m}{n}-\frac{a}{b}\right|\leq \frac{1}{n^2} είναι πεπερασμένα, ενώ για τα m,n ώστε |m/n-a/b|>1/n^2 ισχύει f_{m,n}(a/b)\leq b. Έτσι, υπάρχει μια σταθερά C_q>0 ώστε f_{m,n}(q)\leq C_q για κάθε (m,n)\in \mathbb Z\times \mathbb N με \gcd(m,n)=1.

Για τη δεύτερη περίπτωση έχουμε ότι αυτό δε μπορεί να συμβαίνει αφού το σύνολο των x\in \mathbb R για τα οποία η (f_n(x)) είναι φραγμένη είναι F_\sigma-σύνολο.

Άσκηση 3. Έστω E ένα F_\sigma-υποσύνολο του \mathbb R. Είναι σωστό ότι υπάρχει f_n:\mathbb R\to \mathbb R ακολουθία συνεχών συναρτήσεων ώστε E=\{x:\sup_n|f_n(x)|<\infty\};


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Αύγ 2009, 21:33 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 18 Φεβ 2009, 01:42
Δημοσ.: 49
Valettas Peter έγραψε:
Άσκηση 3. Έστω E ένα F_\sigma-υποσύνολο του \mathbb R. Είναι σωστό ότι υπάρχει f_n:\mathbb R\to \mathbb R ακολουθία συνεχών συναρτήσεων ώστε E=\{x:\sup_n|f_n(x)|<\infty\};


Η απάντησις είναι "ναί". Στήν ενδιαφέρουσα περίπτωσι πού E\neq\emptyset γράφουμε E=\bigcup_{n\geq 1} F_n μέ τά F_n κλειστά καί τ.ω. \emptyset\neq F_n\subset F_{n+1} \forall n.
Ορίζουμε g_n: \mathbb R\rightarrow [0,+\infty) έτσι ώστε g_n(x)=\sum_{k=1}^n d(x,F_k)^{1/n}, δηλαδή g_n(x)=d(x,F_1)^{1/n}+d(x,F_2)^{1/n}+...+d(x,F_n)^{1/n}.
Κάθε g_n είναι συνεχής καί η ακολουθία (g_n)_{n\in\mathbb N} έχει τήν ιδιότητα πού ζητάμε: E=\{x\in\mathbb R: sup_n g_n(x)<\infty\}.
Πράγματι, άν x\in E τότε υπάρχει φυσικός n_x ώστε x\in F_{n_x}\Rightarrow x\in F_n καί d(x,F_n)=0 γιά κάθε n\geq n_x,
άρα sup_n g_n(x)\leq (n_x-1)(d(x,F_1)+1)<\infty.
Αντιθέτως άν x\notin E τότε d(x,F_n)>0 γιά κάθε n. Έστω m\in\mathbb N, τότε επειδή lim_{n\to\infty} d(x,F_m)^{1/n}=1 υπάρχει n_m\geq m ώστε d(x,F_m)^{1/n_m}>\frac{1}{2}.
Τότε g_{n_m}(x)\geq\sum_{k=1}^m d(x,F_k)^{1/n_m}\geq m\cdot d(x,F_m)^{1/n_m}>\frac{m}{2}, πού σημαίνει ότι sup_n g_n(x)=\infty.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Αύγ 2009, 10:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 14 Απρ 2009, 01:52
Δημοσ.: 111
Να σας συμβουλευτούμε και γι' αυτήν.

Άσκηση 4 Δίνεται f_1:{\mathbb R}\to {\mathbb R} συνεχής και επαγωγικά ορίζουμε f_n(x)=\int_0^xf_{n-1}(t)\,dt, n\geq 2. Μας δίνουν ότι, για κάθε x\in {\mathbb R} υπάρχει n\in {\mathbb N} τέτοιος ώστε f_n(x)=0 και μας ζητάνε να δείξουμε ότι η f_1 είναι η μηδενική συνάρτηση.

_________________
Άλλο τι λέμε κι άλλο τι κάνουμε - Αλκιβιάδης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Αύγ 2009, 17:37 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Καημένος έγραψε:
Άσκηση 4 Δίνεται f_1:{\mathbb R}\to {\mathbb R} συνεχής και επαγωγικά ορίζουμε f_n(x)=\int_0^xf_{n-1}(t)\,dt, n\geq 2. Μας δίνουν ότι, για κάθε x\in {\mathbb R} υπάρχει n\in {\mathbb N} τέτοιος ώστε f_n(x)=0 και μας ζητάνε να δείξουμε ότι η f_1 είναι η μηδενική συνάρτηση.


Baire και άτοπο: αν δεν ισχύει αυτό που σε ρωτάνε τότε, επειδή η f_1 είναι συνεχής, υπάρχει διάστημα [a,b] τέτοιο που f_1(x)\neq 0 για όλα τα x\in [a,b]. Τώρα γράφω [a,b]=\bigcup_{n=1}^{\infty }[a,b]\cap f_n^{-1}(\{ 0\}), αυτά είναι κλειστά κι από το Baire κάποιο θα περιέχει διάστημα. Πάει να πει, βρίσκω n και [c,d]\subset [a,b] τέτοιο που f_n(x)=0 στο [c,d]. Παραγωγίζω την αναδρομική σχέση n-1 φορές και βρίσκω f_1\equiv 0 στο [c,d] που είναι άτοπο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Αύγ 2009, 18:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Άσκηση 5 Σωστό είναι ή λάθος? Μπορώ να έχω f_n:[0,1]\to {\mathbb R} συνεχείς με 0\leq f_n\leq 1, τέτοιες που \lim_{n\to\infty }\int_0^1f_n(t)\,dt =0 αλλά η \{ f_n(x)\} δε συγκλίνει για κανένα x\in [0,1].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Αύγ 2009, 23:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Άσκηση 6 Σωστό είναι ή λάθος? Δίνονται f_n:[a,b]\to {\mathbb R} που συγκλίνουν κατά σημείο σε μια f.

(α) Αν όλες οι f_n είναι Lipschitz συνεχείς με την ίδια σταθερά M>0 τότε η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [a,b].

(β) Αν όλες οι f_n είναι κυρτές τότε η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη σε κάθε [c,d]\subset (a,b).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Αύγ 2009, 00:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Άσκηση 7 Σωστό είναι ή λάθος? Δίνονται f_n:[0,1]\to {\mathbb R} συνεχείς που συγκλίνουν κατά σημείο στη μηδενική συνάρτηση.

(α) Υπάρχει A\subset [0,1] πυκνό, τέτοιο που η σύγκλιση να είναι ομοιόμορφη στο A.

(β) Υπάρχει B\subset [0,1] ανοικτό, τέτοιο που η σύγκλιση να είναι ομοιόμορφη στο B.

(γ) Υπάρχει C\subset [0,1] άπειρο, τέτοιο που η σύγκλιση να είναι ομοιόμορφη στο C.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Αύγ 2009, 00:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Άσκηση 8 Σωστό είναι ή λάθος? Η σειρά \sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{(1+x^n)^n} συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,1].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Αύγ 2009, 02:17 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 10 Οκτ 2007, 00:46
Δημοσ.: 16
στάθης έγραψε:
Άσκηση 5 Σωστό είναι ή λάθος? Μπορώ να έχω f_n:[0,1]\to {\mathbb R} συνεχείς με 0\leq f_n\leq 1, τέτοιες που \lim_{n\to\infty }\int_0^1f_n(t)\,dt =0 αλλά η \{ f_n(x)\} δε συγκλίνει για κανένα x\in [0,1].


Δεν είμαι και σίγουρος αλλά νομίζω ότι μπορείς να έχεις ως αντιπαράδειγμα κάτι παρόμοιο με συναρτήσεις που συγκλίνουν κατά μέτρο στην μηδενική αλλά δεν συγκλίνουν κατά σημείο. Βέβαια εκείνες οι συναρτήσεις δεν είναι συνεχείς αλλά μπορείς να πάρεις τρίγωνα αντί για ορθογώνια, δηλαδή η πρώτη συνάρτηση είναι το τρίγωνο με κορυφές τα (0,0) , (1/2,1), (1,0), η δεύτερη τρίγωνο με κορυφές τα (0,0) , (1/4,1), (1/2,0), η τρίτη έχει κορυφές τα (1/2,0) , (3/4,1), (1,0) κοκ

Edit: Ο Καημένος έχει δίκιο, η συγκεκριμένη ακολουθία δεν δίνει αντιπαράδειγμα. Συγγνώμη για το μπέρδεμα.

Για την 7β δεν αρκεί το θεώρημα του Egorov;

Γιάννης


Τελευταία επεξεργασία απο pengo την 23 Αύγ 2009, 21:25, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Αύγ 2009, 07:54 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 10 Οκτ 2007, 00:46
Δημοσ.: 16
στάθης έγραψε:
Άσκηση 6 Σωστό είναι ή λάθος? Δίνονται f_n:[a,b]\to {\mathbb R} που συγκλίνουν κατά σημείο σε μια f.

(α) Αν όλες οι f_n είναι Lipschitz συνεχείς με την ίδια σταθερά M>0 τότε η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [a,b].


Αυτό πρέπει να είναι σωστό, η ίδια σταθερά Lipschitz δίνει ισοσυνέχεια, αφού έχω και συμπάγεια στο πεδίο ορισμού και κατά σημείο σύγκλιση έχω ομοιόμορφη σύγκλιση.

Πιο αυστηρά έχω από την ισοσυνέχεια και την τριγωνική ανισότητα ότι αφού για κάθε x,y,  |x-y| < \delta ισχύει d(f_n(x), f_n(y)) < \epsilon για όλα τα n τότε αφήνοντας το n να πάει στο άπειρο παίρνω και ότι d(f(x), f(y)) \leq \epsilon. Kαλύπτω τον χώρο με μπάλλες ακτίνας το πολύ \delta και κέντρα x_1, ..., x_m. Κάθε f_n(x_i) συγκλίνει στο f(x_i) άρα από εδώ διαλέγω το μέγιστο N (αφού τα x_i είναι πεπερασμένα) τέτοιο ώστε για κάθε n > N, d(f_n(x_i), f(x_i)) < \epsilon. Τώρα όποιο x και να διαλέξω θα βρίσκεται σε κάποια μπάλλα άρα για κάποιο από τα x_i θα ισχύει |x-x_i| < \delta. Τελικά έχω για κάθε n > N ότι d(f_n(x), f(x)) \leq d(f_n(x), f_n(x_i)) + d(f_n(x_i), f(x_i) + d(f(x_i), f(x)) < 3\epsilon.

Το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει (ομοιόμορφη σύγκλιση) αν αφαιρέσεις την συμπάγεια στο πεδίο ορισμού αλλά υποθέσεις την συνάρτηση f συνεχή (η απόδειξη είναι πολύ απλή).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Αύγ 2009, 19:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 14 Απρ 2009, 01:52
Δημοσ.: 111
Πολύ ωραίο το 6(α). Για το 6(β) νομίζω ότι οι f_n είναι ομοιόμορφα Lipschitz σε κάθε [c,d]\subset (a,b) και μπορούμε να εφαρμόσουμε το 6(α). Αν πάρουμε s >0 τέτοιο ώστε a<c-s<d+s<b τότε για κάθε n\in {\mathbb N} και για τις πλευρικές παραγώγους της f_n σε κάθε x\in [c,d] ισχύει \frac{f_n( c)-f_n(c-s)}{s}\leq f_n^{\prime }(x-)\leq f_n^{\prime }(x+)\leq \frac{f_n(d+s)-f_n(d)}{s} (τις συμβολίζω έτσι τις πλευρικές παραγώγους) αφού η f_n είναι κυρτή. Οι ακολουθίες \frac{f_n(c )-f_n(c-s)}{s}\to\frac{f (c )-f(c-s)}{s} και \frac{f_n(d+s )-f_n(d)}{s}\to\frac{f (d+s)-f(d)}{s}, δηλαδή είναι φραγμένες. Έτσι βλέπουμε ότι οι ακολουθίες |f_n^{\prime }(x-)|, |f_n^{\prime }(x+)| είναι φραγμένες από κάποιο M>0 που δεν εξαρτάται από το x\in [c,d]. Τότε, για κάθε n\in {\mathbb N} και για κάθε u<v στο [c,d] θα ισχύει \left |\frac{f_n(v)-f_n(u)}{v-u}\right |\leq M.

Οι τριγωνικές συναρτήσεις δεν μας δίνουν αυτό που ζητάει η Άσκηση 5: έχουν σταθερή τιμή στο 0 και στο 1. Μάλλον θέλει κάτι πιο πολύπλοκο.

_________________
Άλλο τι λέμε κι άλλο τι κάνουμε - Αλκιβιάδης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ακολουθίες συναρτήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Αύγ 2009, 21:50 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 18 Φεβ 2009, 01:42
Δημοσ.: 49
Καημένος έγραψε:
Οι τριγωνικές συναρτήσεις δεν μας δίνουν αυτό που ζητάει η Άσκηση 5: έχουν σταθερή τιμή στο 0 και στο 1. Μάλλον θέλει κάτι πιο πολύπλοκο.

Δέν χρειάζεται κάτι πιό πολύπλοκο, απλώς αντί γιά τριγωνικές θεωρείστε γιά n\geq 1, k=0,1,...,2^n-1 τίς συνεχείς f_{n,k}
πού είναι ίσες μέ 1 στό [\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}], ίσες μέ 0 στά \{x\in [0,1]: x\leq\frac{k-1}{2^n} ή x\geq\frac{k+2}{2^n}\} καί γραμμικές στά εναπομείναντα διαστήματα,
π.χ. f_{3,0}(x) = 1 άν x\in [0,\frac{1}{8}], f_{3,0}(x) = 0 άν x\in [\frac{2}{8},1] καί f_{3,0}(x)=2-8x άν x\in [\frac{1}{8},\frac{2}{8}].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 33 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group