forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Νοέμ 2018, 03:45

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Υπάρχει;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Αύγ 2006, 15:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση [tex] \rm{f}:\mathbb{R} \to \mathbb{R} [/tex] τέτοια ώστε η παράγωγός της να μην είναι συνεχής πουθενά;

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Αύγ 2006, 17:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Μια μερική απάντηση είναι η ακόλουθη:
Στην περίπτωση όπου η [tex]f'[/tex] είναι ολοκληρώσιμη τότε η απάντηση είναι αρνητική διότι για κάθε ολοκληρώσιμη συνάρτηση το σύνολο των σημείων συνέχειάς της είναι πυκνό στο διάστημα όπου αυτή ολοκληρώνεται.

Υ.Γ. Είναι αξιοσημείωτο ότι το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το αν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] ώστε για κάθε [tex]x\in\mathbb{R}[/tex] το [tex]\lim_{t\rightarrow x}f'(t)[/tex] να μην υπάρχει. (γιατί; )


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Αύγ 2006, 18:40 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 13 Αύγ 2006, 22:12
Δημοσ.: 11
Τοποθεσια: Phd. in equillibria
Φίλε μου,όντως υπάρχει τέτοια συνάρτηση...

"But you have to look through .. the governing dynamics"


Εικόνα

_________________
..I can not waste time with these classes and these books. Memorizing the weak assumptions of lessen mortals..


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Σεπ 2006, 01:34 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 23 Αύγ 2006, 03:32
Δημοσ.: 119
ρε φιλαρακακο μηπως μπορεις να μας πεις και ποια ειναι αυτη η συναρτηση γιατι εχουμε σπασει το κεφαλι μας τοσες μερες εδω ναουμ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Η απάντηση είναι αρνητική!
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Δεκ 2006, 00:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Η παράγωγος μια συνάρτησης [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] είναι Baire-1 συνάρτηση (δηλ. κατά σημείο όριο συνεχών συναρτήσεων). Επειδή ο [tex]\mathbb{R}[/tex] είναι πλήρης μ.χ. (και διαχωρίσιμος) το σύνολο των σημείων συνέχειάς της είναι πυκνό και [tex]G_{\delta}[/tex] στο [tex]\mathbb{R}[/tex], δηλαδή, τοπολογικά, πολύ μεγάλο σύνολο!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Δεκ 2006, 13:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 04 Μάιος 2006, 13:21
Δημοσ.: 666
Eνα ερώτημα επομένως είναι εάν το σύνολο των
σημείων ασυνέχειας της παραγώγου μπορεί να είναι μέτρου μηδέν.
(Επίσης δεν γνωρίζω αν ένα πυκνό και Gδ σύνολο
μπορεί να έχει μέτρο μηδέν.)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Δεκ 2006, 14:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 3027
Isis rule έγραψε:
Eνα ερώτημα επομένως είναι εάν το σύνολο των
σημείων ασυνέχειας της παραγώγου μπορεί να είναι μέτρου μηδέν.
(Επίσης δεν γνωρίζω αν ένα πυκνό και Gδ σύνολο
μπορεί να έχει μέτρο μηδέν.)


Ευθύμη, φαντάζομαι ότι εννοείς το σύνολο των σημείων συνέχειας. Το σύνολο των σημείων συνέχειας μιας συνάρτησης είναι πάντα [tex]G_{\delta }[/tex]. Αν είναι κατά σημείο όριο ακολουθίας συνεχών συναρτήσεων, τότε είναι και πυκνό (όπως έγραψε ο Πέτρος).

Μια αναφορά γι'αυτά τα θέματα είναι το βιβλίο

Andrew M. Bruckner, Differentiation of real functions, second edition, CRM Monograph Series 5, Amer. Math. Soc., 1994 (δεύτερη έκδοση του Lecture Notes in Math. 659, Springer-Verlag, 1978).

Εκεί περιγράφεται το παράδειγμα του Volterra (1881) συνάρτησης με φραγμένη παράγωγο που είναι ασυνεχής σε σύνολο θετικού μέτρου.

Επίσης, αποδεικνύεται το εξής: κάθε [tex]F_{\sigma }[/tex] σύνολο πρώτης κατηγορίας είναι το σύνολο των σημείων ασυνέχειας κάποιας παραγώγου.

Αν θέλεις λοιπόν ένα "πολύ μικρό" σύνολο σημείων συνέχειας, ζητάς [tex]G_{\delta }[/tex] σύνολο με μικρό μέτρο (όπως ακριβώς έγραψες). Πόσο μικρό (από την άποψη του μέτρου) πυκνό [tex]G_{\delta }[/tex] σύνολο μπορείτε να φτιάξετε; Προσπαθήστε πρώτα να φτιάξετε ένα μικρό ανοικτό και πυκνό σύνολο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Volterra
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Δεκ 2006, 00:50 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 3027
Μια σύντομη περιγραφή του παραδείγματος του Volterra: Έστω [tex]F[/tex] ένα πουθενά πυκνό, κλειστό υποσύνολο του [tex]{\mathbb R}[/tex].

Ορίζουμε μια συνάρτηση [tex]f[/tex] ως εξής: Το συμπλήρωμα του [tex]F[/tex] είναι μια αριθμήσιμη ένωση ξένων ανοικτών διαστημάτων.

Σε καθένα από αυτά, ας το πούμε [tex](a,b)[/tex], ορίζουμε την [tex]f[/tex] με τον εξής τρόπο: θεωρούμε την συνάρτηση [tex]g(x)=(x-a)^2\sin\frac{1}{x-a}[/tex] για [tex]a<x\leq y[/tex], όπου [tex]y\in \left (a,\frac{a+b}{2}\right )[/tex] με [tex]g^{\prime }(y)=0[/tex]. Τώρα, θέτουμε

(α) [tex]f(x)=g(x)[/tex] στο [tex](a,y)[/tex]

(β) [tex]f(x)=g(y)[/tex] στο [tex]\left [ y,\frac{a+b}{2}\right ][/tex]

(γ) [tex]f(x)=f(a+b-x)[/tex] στο [tex]\left [\frac{a+b}{2},b\right )[/tex].

Έτσι, έχουμε ορίσει την [tex]f[/tex] στο συμπλήρωμα του [tex]F[/tex]. Τέλος, θέτουμε [tex]f(x)=0[/tex] αν [tex]x\in F[/tex].

Τώρα, κοιτάξτε αν θέλετε τα εξής:

Βρείτε την [tex]f^{\prime }[/tex] και το σύνολο των σημείων συνεχείας της.

Μπορεί ένα τέτοιο σύνολο [tex]F[/tex] να έχει θετικό μέτρο;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group