forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 15 Αύγ 2018, 18:59

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 10 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: 1=0
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιούλ 2006, 21:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Θυμάμαι που παλιά "αποδείχναμε" ότι 2=1 ( a=b \Rightarrow 2a=2b \Rightarrow 2a+b=2b+a  \Rightarrow 2a-2b=a-b \Rightarrow 2(a-b)=a-b \Rightarrow 2=1 ). Ε, τώρα που μεγαλώσαμε κάνουμε και άλλα... 'Εστω I = \int_{0}^{1}\frac{x^3}{y^2} e^\frac{-x^2}{y}dy Αν λύσουμε το ολοκλήρωμα αυτό (με αντικατάσταση u=\frac{x^{2}}{y} ), έχουμε: I = \left[ x e^{-\frac{x^2}{y}} \right]_{0}^{1} = x e^{-x^2}
Συνεπώς
\left(x e^{-x^2} \right)' = e^{-x^2} \left(1-2x^2 \right)= \frac{d}{dx} \left(x e^{-x^2} \right)= \frac{d}{dx} \int_{0}^{1}\frac{x^3}{y^2} e^\frac{-x^2}{y}dy= \int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial x}\frac{x^3}{y^2} e^\frac{-x^2}{y}dy
Δηλαδή e^{-x^2} \left(1-2x^2 \right) =  \int_{0}^{1}e^\frac{-x^2}{y} \left( \frac{3x^2}{y^2}-\frac{2x^4}{y^3} \right) dy
Οπότε για x=0 έχουμε 1=0

Σχόλια;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Ιούλ 2006, 22:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Μάλλον είναι αδιάφορο το θέμα. Τέλος πάντων, η απάντηση βρίσκεται στο http://groups.google.com.na/group/sci.math/browse_thread/thread/20891fa265587c77/e4c1322ff7fcf1f0?&hl=en Το θέμα έχει παρθεί από το βιβλίο "Counterexamples in Analysis" http://www.amazon.com/gp/product/0486428753/002-5692099-3860047?v=glance&n=283155

Αυτά


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Ιούλ 2006, 23:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Γιατί συμπέρανες ότι είναι αδιάφορο μέσα σε 4-5 μέρες ??

Άλλα θέματα έχουν απαντηθεί και μετά από ένα μήνα! Εμένα αρκετά ενδιαφέρον μου φάνηκε - και δύσκολο, γι αυτό δεν απάντησα !



ΥΓ. αν θες γράψε μια εξήγηση


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Ιούλ 2006, 00:03 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Ίσως έχεις δίκιο, ότι βιάστηκα.

Μόνο δύο σημεία που μπορεί να δημιουργήσουν αμφιβολία. Το πρώτο σημείο είναι το \left[ x e^{-\frac{x^2}{y}} \right]_{0}^{1} = x e^{-x^2}

To δεύτερο είναι η παραγώγιση ως προς x που "περνάει" μέσα στο ολοκλήρωμα.

Εάν κάποιος αποδείξει ότι \left[ x e^{-\frac{x^2}{y}} \right]_{0}^{1} = x e^{-x^2}, τότε έχουμε μία πολύ ωραία απόδειξη (εις άτοπον απαγωγή δηλαδή), ότι η παράγωγος _δεν_ μπαίνει μέσα στο ολοκλήρωμα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Ιούλ 2006, 00:05 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
(χρειάζεται βέβαια και εντοπισμός κάποιων ιδιαίτερων συνθηκών που ισχύουν εδώ, πχ το θέμα της συνέχειας στο 0)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Ιούλ 2006, 08:04 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιούλ 2006, 00:12
Δημοσ.: 36
Λάθος πρώτο Το I = \int_{0}^{1}\frac{x^3}{y^2} e^\frac{-x^2}{y}dy δεν είναι σωστά ορισμένο μια και στο κάτω άκρο (0) η συνάρτηση φ(y)= \frac{x^3}{y^2}δεν ορίζεται .

Λάθος δεύτερο εφ'οσον σε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα κάνουμε αντικατάσταση u=\frac{x^{2}}{y} πρέπει να αλλάξουμε και τα άκρα οπότε το I = \left[ x e^{-\frac{x^2}{y}} \right]_{0}^{1} είναι λάθος .Έτσι Το άνω άκρο είναι το x^2 (για ψ=1) και το κάτω άκρο είναι Ποιο ; πρόβλημα λόγω του πρώτου λάθους .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Ιούλ 2006, 10:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Το πρώτο δεν είναι λάθος! Το ολοκλήρωμα λαμβάνεται ως γενικευμένο β' είδους. Πιο συγκεκριμένα το ολοκλήρωμα \int_0^1\frac{1}{y^2}e^{-\frac{1}{y}}dy ορίζεται μια χαρά και υπάρχει! Μάλιστα κάνοντας αλλαγή μεταβλητής μετατρέπεται σε ένα γενικευμένο α' είδους ως εξής -\frac{1}{y}=t τότε
\int_0^1y^{-2}e^{-\frac{1}{y}}dy=\int_{-\infty}^{-1}e^tdt=e^{-1}
Κατ' επέκτασην ούτε το δεύτερο είναι λάθος, διότι το ολοκλήρωμα δεν είναι ορισμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Ιούλ 2006, 12:18 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Πράγματι, το λάθος δεν είναι εκεί.

Για να έχουμε μία καλύτερη εικόνα, έφτιαξα το γράφημα της συνάρτησης f(x,y)=x e^{-\frac{x^2}{y}}:

Εικόνα

Στο octave αυτό γίνεται με:
Κώδικας:
octave:61> x=linspace(0,1);
octave:62> y=linspace(0,1);
octave:63> [xx,yy]=meshgrid(x,x);
octave:64> z=xx.*exp(-(xx.^2)./yy);
octave:65> mesh(x,y,z)


οπότε εμφανίζεται το γράφημα στο gnuplot, από όπου μπορούμε να το "τυπώσουμε" σε αρχείο eps

Η συνάρτηση μπορεί να μήν ορίζεται στο (x,y)=(0,0) αλλά \lim_{\substack{x\rightarrow 0\\y\rightarrow 0}}{x e^{-\frac{x^2}{y}}}=0


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιούλ 2006, 10:42 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιούλ 2006, 00:12
Δημοσ.: 36
Πώς ορίζεται το γενικευμένο ολοκλήρωμα β΄είδους; Ορίζεται το \int_0^1(1/x^2)lnxdx;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Αύγ 2006, 22:58 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 13 Αύγ 2006, 22:12
Δημοσ.: 11
Τοποθεσια: Phd. in equillibria
Βρε αφήστε τις εξυπνάδες με τα γενικευμένα και πιάστε διαβάστε τα ορισμένα γιατί θα χαθείτε ναουμ...

Mathematical genius and artistic genius touch one another

Εικόνα

_________________
..I can not waste time with these classes and these books. Memorizing the weak assumptions of lessen mortals..


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 10 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group