forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Αύγ 2018, 19:01

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Προβλήματα Μιγαδικής Ανάλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Ιούλ 2006, 13:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
Κατά την παρακολούθηση των μαθημάτων Μιγαδικής Ανλακυσης ΙΙ, συνάντησα αρκετά αντικείμενα τα οποία εμπεριείχαν μία πληθώρα ιδεών (από όλους τους τομείς των Μαθηματικών). Το κοινό στοιχείο που είχαν ήταν ότι η ιδέα ήταν απλή, αλλά το Θεωρητικό/τεχνικό κομμάτι ήταν κάπως πολύπλοκο και χρειαζότανε πολλά εργαλεία της Ανάλυσης. Παραθέτω μερικά από τα προβλήματα αυτά:

1. a) Αν [tex]a_{n}\geq 0[/tex], τότε [tex]\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_{n})<\infty\iff\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}<\infty[/tex]

b) Αν [tex]a_{n}\in\mathbb{C}, a_{n}[/tex] όχι μηδέν, τότε το [tex]\prod_{n=1}^{\infty}a_{n} \exists[/tex] και είναι διάφορο του μηδέν [tex]\iff \lim_{m>n\rightarrow\infty}[a_{n+1}a_{n+2}\ldots a_{m}]=1[/tex]

c) Αν [tex]a_{n}\in\mathbb{C}, 1+a_{n}[/tex] όχι μηδέν, [tex]\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|<\infty[/tex], τότε [tex]\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_{n}) \exists[/tex] και είναι διάφορο του μηδέν.

2. Δείξτε ότι για [tex]z\in\mathbb{C}[/tex],
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{iz}{n}(n+\cos n)^{\frac{1}{n}})^{n}=[/tex][tex]\prod_{n=1}^{\infty}[\cos\frac{4z}{n(n+1)(n+2)}+i\sin\frac{4z}{n(n+1)(n+2)}][/tex]
[Υπόδειξη: Θα χρειαστείτε το: [tex]\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{z}{n})=e^{n}, [/tex][tex]z\in\mathbb{C}[/tex] και τον τύπο του Euler].

3. Δείξτε ότι η συνάρτηση [tex]f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{e^{z}-1}{e^{z}+1})^{n!}[/tex] είναι ολόμορφη στη λωρίδα [tex]\{z\in\mathbb{C}:-\frac{\pi}{2}<Imz<\frac{\pi}{2}\}[/tex] και ότι δεν επεκτείνεται, σε καμιά περιοχή κανενός σημείου του συνόρου της λωρίδας αυτής, ούτε καν σαν συνεχής συνάρτηση.
[Ιδέα: Για τη συνάρτηση [tex]g(w)=\sum_{n=1}^{\infty}w^{n!}[/tex] ισχύει [tex]\lim_{r\rightarrow\1,r<1}g(re^{i2\pi p/q})=\infty[/tex], για [tex]r,q\in\mathbb{Z}, q>0[/tex], δηλ. έχει ως φυσικό σύνορο την περιφέρεια του μοναδιαίου δίσκου. Οπόταν, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό [tex]w\rightarrow\frac{1+w}{1-w}[/tex] ο οποίος μας στέλνει από το μοναδιαίο δίσκο στη ζητούμενη λωρίδα, έχουμε το ζητούμενο. Σας αφήνω τις λεπτομέρειες!!]

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Τελευταία επεξεργασία απο Yiannis την 09 Δεκ 2006, 14:49, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Διόρθωση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Ιούλ 2006, 13:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
Διόρθωση:
Για το 2. είναι
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{iz}{n}(n+\cos n)^{\frac{1}{n}})^{n}[/tex]

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group