forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 15 Αύγ 2018, 16:40

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Πληθάριθμοι και συνεκτικότητα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Ιουν 2006, 22:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Οι περισσότεροι γνωρίζουμε ότι τα συνεκτικά υποσύνολα του [tex]\mathbb{R}[/tex] είναι ακριβώς τα διαστήματα. Σε τυχαίους μ.χ. χώρους τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά. Π.χ. στο επίπεδο τα σύνολα [tex]\mathbb{S}^1[/tex], [tex]\mathbb{D}[/tex], η λεγόμενη καμπύλη topologist's sine curve [tex]S=\Big\{\Big(x,\sin\frac{1}{x}\Big):x\in(0,1]\Big\}\cup\{(0,0)\}[/tex] είναι όλα συνεκτικά και στη μορφή ποικίλλουν. Αυτό όμως που παρατηρούμε σε όλες τις περιπτώσεις είναι ότι όλα αυτά από πληθαριθμική σκοπιά είναι αρκετά "μεγάλα". Αυτό έτυχε στα παραπάνω παραδείγματα ή είναι γεγονός; Μπορούμε να αποδείξουμε ότι η απάντηση είναι θετική αποδεικνύοντας το ακόλουθο

Έστω [tex]X[/tex] ένας μετρικός χώρος (ή [tex]Τ_4[/tex] τοπολογικός χώρος), ο οποίος είναι συνεκτικός με τουλάχιστον δυο στοιχεία. Αποδείξτε ότι [tex]|X|\geq \textrm{c}[/tex], όπου [tex]\textrm{c}[/tex] ο πληθάριθμος του συνεχούς.


Τελευταία επεξεργασία απο Valettas Peter την 25 Ιουν 2006, 10:01, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιουν 2006, 05:07 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Να υποθέσω ότι θέλεις ο [tex]X[/tex] να είναι συνεκτικός;

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Ιουν 2006, 10:03 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Ναι, βέβαια :oops: Ούτως ή άλλως όλη η αναφορά γι' αυτό γίνεται. Ευχαριστώ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: mmmm
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιούλ 2006, 16:32 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Ιούλ 2006, 16:13
Δημοσ.: 3
Δεν νομίζω να χρειάζετε να αποδείξουμε κάτι. Αφού ο Χ είναι συνεκτικός και έχει τα σημεία x,y υπάρχει μια συνεχής συνάρτηση f:I->Χ με f(0)=x kai f(1)=y . Άρα f(I) ανήκει στο X μπορεις να το συνεχίσεις?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Ιούλ 2006, 18:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Για πρασπάθησε να το κάνεις αυτό στο σύνολο [tex]S[/tex] για τα σημεία [tex](0,0)[/tex] και [tex](\frac{1}{\pi},0)[/tex]! Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση [tex]f:[0,1]\rightarrow S[/tex] με [tex]f(0)=(0,0) [/tex] και [tex]f(1)=(\frac{1}{\pi},0)[/tex]. Αυτό που λες είναι κάτι ισχυρότερο και λέγεται "κατά μονοπάτια συνεκτικό" (path connected). Φυσικά κάθε χώρος κατά μονοπάτια συνεκτικός είναι και συνεκτικός, όμως το αντίστροφο δεν ισχύει όπως φαίνεται και από το topologist's sine curve. To αντίστροφο ισχύει αν επιπλέον το σύνολο είναι ανοικτό σ' έναν τοπικά κ.μ. συνεκτικό χώρο. Π.χ. κάθε ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο [tex]U[/tex] του [tex]\mathbb{R}^n[/tex] είναι κ.μ. συνεκτικό.

Υ.Γ. η απάντηση δίνεται καταφέρνοντας να ορίσεις μια συνεχή συνάρτηση ανάποδη απ' αυτή που όρισες.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Φεβ 2007, 19:48 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Φεβ 2007, 13:59
Δημοσ.: 131
Πάντα είχα απορία γιατί δεν είναι όλοι οι συνεκτικοί χώροι, συνεκτικοί κατα μονοπάτια. Η απάντηση είναι στο βιβλίο J.Munkres- A first course in topology που έχει δυο-τρία αντιπαραδείγματα, που θέλουν βέβαια λίγο διάβασμα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Φεβ 2007, 10:24 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Καλημερα. Ιδου μια απαντηση.

Εστω συνεκτικος μετρικος χωρος [tex](X,d)[/tex] με διακριτα σημεια [tex]a, b[/tex] και [tex]d(a,b)=l[/tex]. Εστω [tex]x \in (0,l)[/tex]. Οριζουμε τα συνολα

[tex]

A_{< x} = \{t \in X: d(t,a) < x \}

A_{> x} = \{t \in X: d(t,a) > x \}

A_{\ge x} = \{t \in X: d(t,a) \ge x \} [/tex]

Τα [tex] A_{<x}, A_{>x}[/tex] ειναι προφανως ανοικτα, και εχουμε [tex]a \in A_{<x}, b \in A_{>x} \subseteq A_{\ge x}[/tex]. Οποτε το [tex]A_{\ge x} = X - A_{<x}[/tex] δε μπορει να ειναι και αυτο ανοικτο, αφου ο χωρος ειναι συνεκτικος.

Αρα [tex] A_{\ge x} - A_{>x} \ne \emptyset[/tex] και, κατα συνεπεια, υπαρχει [tex]p \in X[/tex] με [tex]d(p,a)=x[/tex] για καθε [tex]x \in [0,l][/tex]. Αρα [tex] |X| \ge 2^{\aleph_0}[/tex].

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Φεβ 2007, 14:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Καλησπέρα,

Να δώσω μια άλλη ιδέα απόδειξης.

Εφόσον ο [tex](X, \mathcal T)[/tex] είναι φυσιολογικός με τουλάχιστον δυο σημεία (ας πούμε [tex]x,y\in X, \; x\neq y[/tex]) υπάρχει συνεχής συνάρτηση [tex]f:X\rightarrow [0,1][/tex], όπου [tex]f(x)=0,\; f(y)=1[/tex]. Εδώ χρησιμοποιούμε το λήμμα του Urysohn. Επειδή δε, είναι συνεκτικός από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής έχουμε ότι η [tex]f[/tex] είναι επί. Άρα θα είναι [tex]|X|\geq |[0,1]|=2^{\aleph_0}[/tex].

Να σημειώσω απλώς ότι αυτή την άσκηση μπορεί να τη βρει κάποιος στο βιβλίο του N.Carothers, "Real Analysis",CUP 2000.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group