forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Νοέμ 2017, 23:09

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ανάλυση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Ιουν 2006, 14:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Μάιος 2006, 13:21
Δημοσ.: 666
Ενα σχετικό ερώτημα είναι να βρεθεί πραγματική γνησίως αύξουσα
και συνεχής συνάρτηση από τους άρρητους του [0,1] ώστε το μέτρο
της εικόνας να είναι μηδέν.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Μια πιθανή κατασκευή της ζητούμενης συνάρτησης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Ιουν 2006, 13:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
(Φαντάζομαι εννοείς μέτρο Lebesque)

Ας ξεκινήσουμε με την κατασκευή μια συνεχούς γν. αύξουσας συνάρτησης από τους άρρητους του [tex][0,1][/tex] στο [tex]\mathbb{R}[/tex] η οποία ορίζεται μέσω υποσειρών μιας δεδομένης σειράς.
Συμβολίζουμε με [tex]J=[0,1]\cap\mathbb{Q}^c[/tex] και έστω [tex]\{q_n:n\in\mathbb{N}\}[/tex] μια αρίθμηση των ρητών του [tex][0,1][/tex].
Για κάθε [tex]x\in J[/tex] ορίζουμε το άπειρο υποσύνολο [tex]Ν_x[/tex] του [tex]\mathbb{N}[/tex] ως εξής: [tex]Ν_x=\{n\in\mathbb{N}:q_n<x\}[/tex]. Επιλέγοντας μια ακολουθία [tex](a_n)[/tex] θετικών όρων η οποία είναι στοιχείο του [tex]\ell_1(\mathbb{N})[/tex] ορίζουμε τη συνάρτηση [tex]f:J\rightarrow\mathbb{R}[/tex] με [tex]f(x)=\sum_{n\in N_x}a_n[/tex]. Τώρα η συνάρτηση [tex]f[/tex] έχει τις ακόλουθες ιδιότητες
    1. Είναι συνεχής σε κάθε σημείο του [tex]J[/tex] και
    2. είναι γν. αύξουσα (διότι οι ρητοί είναι πυκνοί)

Το σύνολο τιμών της είναι το εξής [tex]f(J)=\Big\{\sum_{n\in N_x}a_n:N_x\subseteq \mathbb{N},x\in J\Big\}[/tex]. To μόνο που μένει να κάνουμε είναι να επιλέξουμε κατάλληλα την [tex](a_n)[/tex] ώστε το σύνολο τιμών να είναι αφενός μετρήσιμο αφετέρου μηδενικού μέτρου.(αν είναι εφικτό!) Επιλέγοντας για [tex]a_n=\frac{2}{3^n}[/tex] έχουμε ότι για κάθε [tex]x\in J[/tex] η εικόνα του γράφεται [tex]f(x)=\sum_{n\in N_x}\frac{2}{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{3^n}[/tex] όπου [tex]b_n=2[/tex] αν [tex]n\in N_x[/tex] και [tex]b_n=0[/tex] διαφορετικά. Έτσι [tex]f(J)\subseteq C[/tex] όπου [tex]C[/tex] το σύνολο του Cantor. (Διότι κάθε στοιχείο του συνόλου του Cantor γράφεται με βάση το 3 μόνο με 0 και 2 και αντίστροφα). Τώρα αν το [tex]f(J)[/tex] είναι μετρήσιμο τελειώσαμε από τη μονοτονία του μέτρου και από το γεγονός ότι το σύνολο Cantor είναι μηδενικού μέτρου. Τουλάχιστον είναι εξωτερικού μέτρου 0.

Y.Γ. Μια βολική εικασία είναι ότι κάθε συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση απεικονίζει μετρήσιμα σε μετρήσιμα. Δεν ξέρω όμως κατά πόσο μπορεί να ισχύει κάτι τέτοιο...


Τελευταία επεξεργασία απο Valettas Peter την 20 Ιουν 2006, 17:50, επεξεργάστηκε 2 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Ιουν 2006, 18:34 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Ωραία λύση!! :thumbup:

Η μετρησιμότητα του [tex]f(J)[/tex] πάντως είναι εξασφαλισμένη από την πληρότητα του μέτρου Lebesgue. Εξ ορισμού σε έναν πλήρη χώρο μέτρου κάθε υποσύνολο μετρησίμου συνόλου με μέτρο μηδέν είναι μετρήσιμο.
Valettas Peter έγραψε:
Y.Γ. Μια βολική εικασία είναι ότι κάθε συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση απεικονίζει μετρήσιμα σε μετρήσιμα. Δεν ξέρω όμως κατά πόσο μπορεί να ισχύει κάτι τέτοιο...

Έχω την εντύπωση ότι μπορείς να κάνεις την πιο ισχυρή υπόθεση ότι η [tex]f[/tex] είναι ομοιομορφισμός (σε περίπτωση πάντα που πραγματευόμαστε με χώρους Borel). Πιο συγκεκριμένα:
Παράθεση:
Έστω [tex]f: A \longrightarrow B[/tex] γν. αύξουσα και επί συνάρτηση ώστε [tex]A, B \subseteq \mathbb{R}[/tex]. Τότε η [tex]f[/tex] είναι αντιστρέψιμη και αμφισυνεχής.

Hint: Θυμηθείτε ότι αν [tex]A\subseteq \mathbb{R}[/tex], τότε το [tex]\mathcal{B} = \{ J\cap A : J = (a,b) \subset \mathbb{R} \}[/tex] είναι μια τοπολογική βάση του [tex]A[/tex].

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιουν 2006, 14:25 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Ουπς.... αγνοήστε το τελευταίο μέρος.. :oops:

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιουν 2006, 17:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Ναι όντως η λύση είναι πλήρης! Αν έχουμε ένα σύνολο μηδενικού μέτρου κάθε υποσύνολο είναι μηδενικού μέτρου. Οπότε έκλεισε και αυτό! :)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανάλυση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Ιουν 2015, 00:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Οκτ 2006, 11:40
Δημοσ.: 2904
Valettas Peter έγραψε:
Οπότε έκλεισε και αυτό! :)


Λίγο άστοχο το τραγούδι, αλλά ταιριάζει. Να σας ζήσει ο γιός!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανάλυση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Ιουν 2015, 17:59 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 27 Ιουν 2006, 20:59
Δημοσ.: 717
Να τους ζήσει!!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group