forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Φεβ 2018, 14:26

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 23 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Υπάρχει;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Μαρ 2006, 00:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Τις προάλλες είχα μία διένεξη με εναν καθηγητή Λυκείου για το αν υπάρχει ή όχι το \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{x^{3} - x^{2}}. Υπάρχει τελικά ή όχι;

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Μαρ 2006, 19:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 28 Φεβ 2006, 14:47
Δημοσ.: 1751
Τοποθεσια: Αργυρούπολη
Το x_0 = 0 είναι σημείο συσσώρευσης της συνάρτησης f(x) = \sqrt{x^3-x^2}, αφού x_0 \in (x - \delta , x + \delta) \cap X \neq \emptyset , \forall \delta > 0, όπου X το πεδίο ορισμού της f.
Άρα, γιατί να μην υπάρχει το όριο?

_________________
"I am the happiest man alive. I have that in me that can convert poverty into riches, adversity into prosperity, and I am more invulnerable than Achilles; fortune hath not one place to hit me."


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Μαρ 2006, 20:13 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Προσοχή!

Το x_0 είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου X ανν (x_0-\delta,x_0 + \delta) \cap X \setminus \{x_0\} \neq \emptyset, \; \forall \delta > 0.

Για δες καλά το πεδίο ορισμού της f...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μαρ 2006, 12:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Αρχικά θα πρέπει να βρούμε το πεδίο ορισμού της f. Δηλαδή να απαιτήσουμε x^3 - x^2 \geq 0

Για x=0 ισχύει.

Έστω x\neq 0.

x^3 - x^2 \geq 0  \Rightarrow x^3 \geq x^2 \Rightarrow x\geq 1

Άρα το πεδίο ορισμού που ψάχνουμε είναι \{0\} \cup [1,+\infty).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μαρ 2006, 14:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 28 Φεβ 2006, 14:47
Δημοσ.: 1751
Τοποθεσια: Αργυρούπολη
eirik έγραψε:
Το x_0 είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου X ανν (x_0-\delta,x_0 + \delta) \cap X \setminus \{x_0\} \neq \emptyset, \; \forall \delta > 0.

Πω-πω, ντροπή!
:oops:

_________________
"I am the happiest man alive. I have that in me that can convert poverty into riches, adversity into prosperity, and I am more invulnerable than Achilles; fortune hath not one place to hit me."


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Μαρ 2006, 22:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Nai kai ego simfono me ton angelo afou to pedio orismou tis sinartisis \rm f(x) = \sqrt{x^{3}-x^{2}} einai to \{0\} \cup [1, +\infty) ara den exei noima i anazitisi oriou sto 0, opote to orio den iparxei. O kathigits omos mou eipe oti h synarthsh \rm f (pou oristike proigoumenws) einai sinexis sto 0 ara \rm \lim_{x \to 0} \sqrt{x^{3} - x^{2}} = f(0) = 0. Ti paizei?

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Μαρ 2006, 00:54 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Ο ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης [tex]f[/tex] στο σημείο [tex]x_0[/tex], απαιτεί το [tex]x_0[/tex] να είναι σημείο συσσώρευσης στο πεδίο ορισμού της. Συνεπώς, αφού εν προκειμένω το [tex]x_0 = 0[/tex] είναι μεμονωμένο σημείο στο [tex]X[/tex], αυτό απλώς δεν υπάρχει.
Ωστόσο, αν κάνουμε την "αιρετική" υπόθεση ότι ένα όριο υπάρχει αν απλά ικανοποιείται ο [tex]\varepsilon-\delta[/tex] ορισμός, τότε κατά τρόπο τετριμμένο βγαίνουμε σε αντίθετο συμπέρασμα.
Κατά την ταπεινή μου γνώμη, η ύπαρξη ή μη του ορίου ανάγεται καθαρά σε θέματα συμβάσεων που έγιναν κατά την διατύπωση των ορισμών και είναι μάλλον επουσιώδη από μαθηματικής σκοπιάς...

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Μαρ 2006, 21:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 19:18
Δημοσ.: 3078
Τοποθεσια: Από δω κι από κεί.
Χμ κι όμως αν θεωρήσεις έναν διακριτό μ.χ. έστω \langle X, d\rangle τότε αυτός αποτελείται μόνο από μεμονωμένα σημεία αλλά κάθε συνάρτηση f:X\rightarrow X είναι συνεχής αφού αντιστρέφει τα ανοικτά σύνολα σε ανοικτά (ώς γνωστόν σε έναν διακριτό μ.χ. κάθε σύνολο είναι και ανοικτό και κλειστό).

_________________
Γι' αυτό σου λέω.
Την άλλη φορά που θα μας ρίξουνε
να μην την κοπανήσουμε. Να ζυγιαστούμε.
Μην ξεπουλήσουμε φτηνά το τομάρι μας ρε.
Μη. Βρέχει. Δόσμου τσιγάρο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Μαρ 2006, 00:27 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Ναι, το ότι το όριο μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία συσσώρευσης είναι μία λεπτομέρεια που είναι εύκολο να περάσει απαρατήρητη - μάλλον επειδή η αναζήτηση ορίου σε μεμονωμένα σημεία είναι τετριμμένη. Η συνάρτηση σε αυτά θα ορίζεται και θα έχει συγκεκριμένη τιμή.

Πάντως για να είμαστε σωστοί πρέπει να παρατηρήσουμε - όπως σωστά είπατε κι εσείς - ότι δεν ορίζεται όριο στο μηδέν. Η άσκηση πάντως ήταν αρκετά αινιγματική και ανέδειξε ακριβώς αυτό το λεπτό σημείο!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Μαρ 2006, 01:39 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
daemon έγραψε:
Χμ κι όμως αν θεωρήσεις έναν διακριτό μ.χ. έστω \langle X, d\rangle τότε αυτός αποτελείται μόνο από μεμονωμένα σημεία αλλά κάθε συνάρτηση f:X\rightarrow X είναι συνεχής αφού αντιστρέφει τα ανοικτά σύνολα σε ανοικτά (ώς γνωστόν σε έναν διακριτό μ.χ. κάθε σύνολο είναι και ανοικτό και κλειστό).


Προσοχη! Αλλο συνεχεια και αλλο υπαρξη οριου. Δε χρειαζεται να παρεις διακριτους μετρικους χωρους. Μια συναρτηση ειναι παντοτε συνεχης στα μεμονωμενα σημεια της, οποια τοπολογια και να παρουμε. Η \sqrt{x^3 - x^2} ειναι συνεχης στο 0, ωστοσο δεν υφισταται οριο εκει.

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Μαρ 2006, 22:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 19:18
Δημοσ.: 3078
Τοποθεσια: Από δω κι από κεί.
Συμφωνώ. Ο λόγος που το έγραψα ήταν γιατί (λόγω κούρασης υποθέτω) αντί να διαβάσω "όριο μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία συσσώρευσης" διάβασα "συνέχεια μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία συσσώρευσης", κάτι το οποίο προφανώς δεν ισχύει. Π.χ. Μία πραγματική ακολουθία (x_n)_{n\in\mathbb{N}}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} είναι κατά τρόπο τετριμμένο συνεχής στο \mathbb{N} (που είναι το πεδίο ορισμού της).

_________________
Γι' αυτό σου λέω.
Την άλλη φορά που θα μας ρίξουνε
να μην την κοπανήσουμε. Να ζυγιαστούμε.
Μην ξεπουλήσουμε φτηνά το τομάρι μας ρε.
Μη. Βρέχει. Δόσμου τσιγάρο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Ιούλ 2006, 00:41 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιούλ 2006, 00:12
Δημοσ.: 36
υπάρχει το \lim_{x\to 0}\sqrt[3]{x^3-x^2};


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 18 Ιούλ 2006, 22:39 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Ιουν 2006, 00:02
Δημοσ.: 96
Στο συγκεκριμένο υπόρριζο μέσα στην κυβική ρίζα στο όριο δεν έχουμε τον περιορισμό να είναι θετικό, όπως στο αρχικό.
Μπορεί να είναι θέτικο, αρνητικό ή μηδέν.

Άρα το πεδίο ορισμού του \sqrt[3]{x^3 - x^2} είναι το IR

και το όριο τελικά 0.
( \lim_{x\to 0}\sqrt[3]{x^3-x^2} = 0 )

Νομίζω γενικέυεται για \lim_{x\to 0}\sqrt[n]{x^3-x^2} , n περιττός.

_________________
Νώντας Μπουκοβάλας - Nodas Boukovalas


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Ιούλ 2006, 17:34 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Ιούλ 2006, 16:13
Δημοσ.: 3
Yparxoun mathimatika suggrammata pou dexontai ta parapanw oria... Sugkekrimena mia tetoia prospatheia ginete kai apo tous Bourbaki.

Fusika me ton otismo pou mathame sto ... dhmotiko den exei nohma na mhlame gia oria afou ekeino to pragmataki x->0 den exei kan nohma se auto pou kanoume!!!

Ti ginete loipon?

Kapoios tha mporouse na isxuristei oti auto to "orio" einai 0. Den tou thimwnw alla den trelenomai kiolas me thn apanthsh tou. Genika to thema moiazei me kauth patata!

Kairos na mpoun kai kathigites sto paixnidi ... Loipon kurioi?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Ιούλ 2006, 20:22 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Η απάντηση ενός αναλύστα(έχω έναν στο μυαλό μου) θα ήταν πως δεν ορίζεται εκεί όριο. Μας είχε τονίσει όταν κάναμε Μιγαδική Ανάλυση:

" Προσοχή: To x_0 πρέπει να είναι σημείο συσσώρευσης για να μιλάμε για όριο! "


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 23 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group