forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2018, 11:51

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 10 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιουν 2006, 00:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Υπάρχει συνεχής συνάρτηση [tex]f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] η οποία να είναι επί;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιούλ 2006, 14:04 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 13 Ιούλ 2006, 13:49
Δημοσ.: 29
Όπως ξέρουμε υπάρχει f:[0,1]->[0,1] X [0,1] συνεχής και επί.

Έστω p:[0,1] X [0,1] ->[0,1] η προβολή στην πρώτη συντεταγμένη.

Αν περιορίσουμε την f στους άρρητους η σύνθεση p°f είναι επί (γιατί; ).

Η επέκταση σ'όλο το [tex] $\mathbb R-\mathbb Q$ [/tex] είναι εύκολη.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιούλ 2006, 20:21 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Παναγιώτης Παπάζογλου έγραψε:
Όπως ξέρουμε υπάρχει f:[0,1]->[0,1] X [0,1] συνεχής και επί.

Καμία ιδέα για το πώς μας προκύπτει αυτό;

Παναγιώτης Παπάζογλου έγραψε:
Αν περιορίσουμε την f στους άρρητους η σύνθεση p°f είναι επί (γιατί; ).

Μια πιθανή λύση: Ας υποθέσουμε ότι η [tex]p\circ f[/tex] δεν είναι επί. Τότε θα υπάρχει [tex]x_0 \in [0,1][/tex] ώστε [tex]x_0 \notin p\circ f ([0,1])[/tex]. Ισοδύναμα, η ευθεία [tex]x=x_0[/tex] δεν τέμνει το σύνολο [tex]f(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})[/tex]. Συνεπώς αν θεωρήσουμε το σύνολο
<center>[tex]\Sigma = \{ (x_0,a) \;|\; a \in [0,1] \}[/tex]</center>
τότε καταρχάς [tex]f^{-1}(\Sigma) \neq \emptyset[/tex] (αφού η [tex]f[/tex] είναι επί) και επιπλέον από την υπόθεσή μας θα πρέπει να ισχύει [tex]f^{-1}(\Sigma) \subset \mathbb{Q}[/tex]. Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί το [tex]f^{-1}(\Sigma)[/tex] είναι υπεραριθμήσιμο (αφού είναι και το [tex]\Sigma[/tex]).

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Peano Curve
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιούλ 2006, 22:13 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Μια συνεχής συνάρτηση [tex]f:[0,1]\rightarrow [0,1]\times [0,1][/tex] είναι η λεγόμενη καμπύλη του Peano, η οποία γεμίζει όλο το τετράγωνο. Μια απόδειξη αυτού χρησιμοποιεί τριαδικά σύνολα Cantor και υπάρχει σε κάθε (σύγχρονο) βιβλίο πραγματικής ανάλυσης. Αν δεν το βρεις πες μου να σου στείλω ένα paper νομίζω ότι έχω. Πιο συγκεκριμένα αν ψάχνεις βιβλιογραφία υπάρχει στο βιβλίο του N.L. Carothers, "Real Analysis", CUP 2000, p.155, ως εφαρμογή του κριτηρίου του Weierstrass.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιούλ 2006, 22:24 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Πάντως είδα την κεντρική ιδέα, thanks :)

http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιούλ 2006, 12:11 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Προς Κον Παπάζογλου
Θα ήθελα να σας ευχαριστήσω για την απάντηση στο πρόβλημα μου αλλά θα ήθελα αν μπορείτε και δε σας κάνει κόπο να γράψετε μια πιο λεπτομερή απόδειξη αυτού. Αν ο χώρος δεν είναι αρκετός γράψτε το σ' ένα αρχείο και στειλτε το στο email μου. Επίσης κατά την επέκταση φαίνεται να προκύπτει μια συνάρτηση [tex]f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\rightarrow [0,1] [/tex] συνεχής και επί. Πώς θα γίνει συνεχής και επί του [tex]\mathbb{R}[/tex];


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιούλ 2006, 18:14 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 14 Μαρ 2006, 12:19
Δημοσ.: 5
Τοποθεσια: 127.0.0.1
Παράθεση:
Επίσης κατά την επέκταση φαίνεται να προκύπτει μια συνάρτηση [tex]f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\rightarrow [0,1][/tex] συνεχής και επί. Πώς θα γίνει συνεχής και επί του [tex]\mathbb{R}[/tex];

Για να γίνει συνεχής και επι του [tex]\mathbb{R}[/tex] αρκεί να πάρεις την σύνθεση [tex]f\circ g[/tex] όπου [tex]g=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}[/tex] με Π.Ο.[tex] g: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}[/tex]

Επίσης το ότι υπάρχει μια συνάρτηση 1-1 και επί απο το [tex]\mathbb{R}-\mathbb{Q}[/tex] στο [tex]\mathbb{R}[/tex] είναι πολυ απλό, αφού τα δύο σύνολα είναι ισοπληθικά.
"Αν απο ενα υπεραριθμήσιμο σύνολο αφαιρέσουμε αριθμήσιμα το πλήθος στοιχεία τότε ο πληθάριθμος του δεν μεταβάλεται" (Απόδειξη με επαγωγή)

(Αυτή η συνάρτηση δεν είναι κατ' αναγκη συνεχής επομένως δεν απαντώ στο αρχικό ερώτημα, προφανώς)


Τελευταία επεξεργασία απο Gregory την 16 Ιούλ 2006, 01:10, επεξεργάστηκε 6 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιούλ 2006, 20:46 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Σύμφωνοι, αλλά εδώ ζητάμε η [tex]f[/tex] να είναι και συνεχής (και όχι απαραίτητα 1-1). Εκεί έγκειται η δυσκολία της άσκησης. :wink:

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Ιούλ 2006, 01:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Προς Gregory:
H [tex]g[/tex] που θεώρησες δεν ορίζεται στο κλειστό [tex][0,1][/tex]. Αλλά μην ψάχνειs κιόλας να βρεις μια συνεχή συνάρτηση [tex]g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}[/tex] η οποία να είναι επί διότι το [tex][0,1][/tex] είναι συμπαγές ενώ το [tex]\mathbb{R}[/tex] ούτε καν φραγμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Ιούλ 2006, 01:22 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 14 Μαρ 2006, 12:19
Δημοσ.: 5
Τοποθεσια: 127.0.0.1
Ναι σωστά, ανοικτό [tex](0,1)[/tex] εννοούσα.
Πάντως για το αρχικό ερώτημα, δεν παίζει ρόλο αν η συνάρτηση ορίζεται στο ανοικτό η κλειστο 0,1.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 10 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group