forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Σεπ 2018, 02:12

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 28 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Νοέμ 2007, 21:26 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
(α) Θέτουμε s_n=\sum_{k=1}^na_k^2. Αν \lim_{n\to \infty}s_n=s<\infty τότε από την υπόθεση έχουμε a_n\to 1/s\neq 0, άτοπο. Ώστε s_n\to +\infty. Άρα, από την υπόθεση έχουμε a_n\to 0.

(β) Αρκεί να υπολογίσουμε το \lim_{n\to \infty}(n\cdot a_n^3). Η υπόθεση όμως μας λέει ότι a_n\sim 1/s_n. Οπότε, αρκεί να υπολογίσουμε το \lim_{n\to \infty}\frac{n}{s_n^3}. Παρατηρούμε ότι πληρούνται οι υποθέσεις του λήμματος του Stolz για την (s_n^3), άρα αρκεί να υπολογίσουμε το \lim_{n\to \infty}\frac{1}{s_{n+1}^3-s_n^3}. Μετά από πράξεις βρίσκουμε s_{n+1}^3-s_n^3=(a_{n+1}s_{n+1})^2\left[1+\frac{s_n}{s_{n+1}}+\left(\frac{s_n}{s_{n+1}}\right)^2\right]\to 3, διότι \frac{s_n}{s_{n+1}}=1-\frac{a_{n+1}^2}{s_{n+1}}\to 1.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Νοέμ 2007, 12:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Πρώτα απ' όλα παρατηρούμε ότι για κάθε x\in \mathbb R η ακολουθία (f^n(x))_{n\in \mathbb N} δύναται να περιγραφεί αναδρομικά από την x_1=x και x_{n+1}=f(x_n), όπου x_{n+1}=f^n(x). Αποδεικνύουμε τον ακόλουθο

Ισχυρισμός. Έστω x\in \mathbb R. Τότε ισxύει x_{n+1}<5^nx για n=1,2,\dots.
Επαγωγικά: για n=1, x_2=f(x)=5x(1-x)<5x. Υποθέτουμε ότι ισχύει για n-1 δηλαδή, x_n<5^{n-1}x. Τότε, x_{n+1}=f(x_n)<5x_n<5^nx.

(α) Από τον ισχυρισμό και το γεγονός ότι x<0 έπεται ότι x_n\to -\infty.

(β) Επειδή οι αριθμοί 0 και 4/5 αποτελούν σταθερά σημεία της f, έπεται ότι \lim_{n\to \infty}f^n(0)=0 και \lim_{n\to \infty}f^n(4/5)=4/5.

(γ) Θεωρούμε ένα σταθερό σημείο της f^2 το οποίο όμως δεν είναι σταθερό σημείο της f(αν υπάρχει τέτοιο). Λύνοντας την εξίσωση f(f(x))=x βρίσκουμε τις ρίζες: 0,\; 4/5,\; \frac{3\pm \sqrt{3}}{5}. Αν λοιπόν θεωρήσουμε x=\frac{3\pm\sqrt{3}}{5} τότε έχουμε ότι f(x)\neq x, ενώ f^2(x)=x. Έτσι, η ακολουθία (f^n(x))_{n\in\mathbb N} δεν έχει όριο στο \mathbb R\cup\{\pm\infty\}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Αύγ 2009, 19:07 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Άσκηση 15. Δίνεται f:{\mathbb R}\to {\mathbb R} με συνεχή παράγωγο και f(0)=0. Δίνεται κι ένας d\in {\mathbb N}. Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας \alpha_n=\sum_{k=n}^{dn}f\left (\frac{1}{k}\right ) αν υπάρχει.

Παράκληση: αν γίνεται, να φρεσκάρουμε λίγο τη LaTeX από πάνω.

Είσαι άρχοντας \downarrow.


Τελευταία επεξεργασία απο theodore την 29 Αύγ 2009, 19:43, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.
έγινε. :)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Αύγ 2009, 13:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
στάθης έγραψε:
Άσκηση 15. Δίνεται f:{\mathbb R}\to {\mathbb R} με συνεχή παράγωγο και f(0)=0. Δίνεται κι ένας d\in {\mathbb N}. Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας \alpha_n=\sum_{k=n}^{dn}f\left (\frac{1}{k}\right ) αν υπάρχει.


Θα δείξουμε ότι το όριο είναι f&#39;(0)\log d. Θεωρούμε \varepsilon>0 και έστω \delta>0 ώστε αν |x|<\delta τότε |f&#39;(x)-f&#39;(0)|<\varepsilon. Από το θεώρημα μέσης τιμής σε κάθε διάστημα [0,\tfrac{1}{k}] υπάρχει 0<t_k<1/k ώστε f(1/k)=\tfrac{1}{k}f&#39;(t_k). Τότε: |\alpha_n-f&#39;(0)\log d|\leq \sum_{n\leq k\leq dn}\frac{1}{k}|f&#39;(t_k)-f&#39;(0)|+|f&#39;(0)|\left|\log d-\sum_{n\leq k\leq dn}\frac{1}{k}\right|. Είναι γνωστό ότι \sum_{k=n}^{dn}\frac{1}{k}\to \log d, άρα υπάρχει ένα n_0>1/\delta ώστε \left|\sum_{k=n}^{dn}\tfrac{1}{k}-\log d\right|<\varepsilon για κάθε n\geq n_0. Επίσης θα είναι |f&#39;(t_k)-f&#39;(0)|<\varepsilon για n\leq k\leq dn και n\geq n_0. Συνδυάζοντας τα παραπάνω βρίσκουμε ότι: |\alpha_n-f&#39;(0)\log d|\leq \varepsilon (d+|f&#39;(0)|) για κάθε n\geq n_0.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Αύγ 2009, 14:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Άσκηση 16. Σωστό είναι ή λάθος? Αν f:[0,1]\to {\mathbb R} είναι συνεχής συνάρτηση και \alpha_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(-1)^kf\big (\frac{k}{n}\big ) τότε \lim_{n\to\infty }\alpha_n=0.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Αύγ 2009, 14:16 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
στάθης έγραψε:
Άσκηση 16. Σωστό είναι ή λάθος? Αν f:[0,1]\to {\mathbb R} είναι συνεχής συνάρτηση και \alpha_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(-1)^kf\big (\frac{k}{n}\big ) τότε \lim_{n\to\infty }\alpha_n=0.


Μια λύση υπάρχει εδώ: http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=37&t=4173.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Αύγ 2010, 09:19 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Άσκηση 17. Αν \{ x_n\} είναι ακολουθία με θετικούς όρους και υπάρχει c>0 τέτοιο που e^{-c/n^2}\leq\frac{x_{n+1}}{x_n}\leq e^{c/n^2} για κάθε n\geq 1, τότε η \{ x_n\} συγκλίνει.

Με αυτό το κόλπο να μελετηθεί η x_n=\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Αύγ 2010, 11:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 29 Αύγ 2009, 13:32
Δημοσ.: 104
στάθης έγραψε:
Άσκηση 17. Αν \{ x_n\} είναι ακολουθία με θετικούς όρους και υπάρχει c>0 τέτοιο που e^{-c/n^2}\leq\frac{x_{n+1}}{x_n}\leq e^{c/n^2} για κάθε n\geq 1, τότε η \{ x_n\} συγκλίνει.



Kαλημέρα και απο μένα.

Νομίζω πως χρειάζεται μόνο το δεξί μέλος.

Χωρίς βλάβη c=1.
Tώρα ισχύει , \frac{x_{n+1}}{x_n} \leq e^{\frac{1}{n^2}} \leftrightarrow ln(x_{n+1})-ln(x_n) \leq \frac{1}{n^2}
σχέση που μας δίνει:

y_m \leq y_k + \sum_{k}^{m-1}\frac{1}{i^2}
για κάθε m\geq k \geq 1, με y_n=ln(x_n)

Παίρνωντας m=m_n , ώστε η y_{m_n} να πάει στο limsup της
y_n και ύστερα παίρνωντας το n στο άπειρο έπεται,

limsupy_n \leq y_k+  \sum_{k}^{\inf}\frac{1}{i^2} .

Tέλος παίρνωντας k=k_n ώστε η y_{k_n} να πηγαίνει στο liminf της y_n
, δεδομένου ότι η \sum_{1}^{n}\frac{1}{i^2} συγκλίνει

,
έπεται (με n στο άπειρο) οτι

limsupy_n\leq liminf y_n άρα η y_n συγκλίνει και άρα και η e^{y_n}=x_n συγκλίνει, δηλαδή το ζητούμενο.

ΥΓ βέβαια με την διπλή ανισότητα μπορεί να βγει απευθείας βασική.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Αύγ 2010, 11:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Πολύ ωραίος, η αριστερή μάλλον σου δίνει ότι το όριο θα είναι και θετικό (ή κάνω λάθος?). Αυτό μας ενδιαφέρει π.χ. μετά για να βγάλουμε τον Stirling εύκολα (αν βγαίνει έτσι).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Αύγ 2010, 15:37 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Άσκηση 18. Έστω (x_n) ακολουθία μη αρνητικών αριθμών με x_{n+2}\leq \frac{1}{n^2}(x_n+x_{n+1}) για n=1,2,\ldots Αποδείξτε ότι: x_n=O(1/n!).

Άσκηση 19. Έστω 0<\alpha<1/2 και (x_n) ακολουθία μη αρνητικών αριθμών με x_{n+2}\leq \frac{x_n+x_{n+1}}{\log n} για n=1,2,\ldots. Αποδείξτε ότι: x_n=O((\log n)^{-\alpha n}).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Αύγ 2010, 16:05 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Valettas Peter έγραψε:
Άσκηση 18. Έστω (x_n) ακολουθία μη αρνητικών αριθμών με x_{n+2}\leq \frac{1}{n^2}(x_n+x_{n+1}) για n=1,2,\ldots Αποδείξτε ότι: x_n=O(1/n!).

Αν εννοείς x_{n+2}\leq \frac{1}{(n+2)^2}(x_n+x_{n+1}) βγαίνει αμέσως με επαγωγή ότι x_n\leq\frac{\alpha }{n!} με τον \alpha =\max\{ x_1, 2x_2\}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Αύγ 2010, 16:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Valettas Peter έγραψε:
Άσκηση 19. Έστω 0<\alpha<1/2 και (x_n) ακολουθία μη αρνητικών αριθμών με x_{n+2}\leq \frac{x_n+x_{n+1}}{\log n} για n=1,2,\ldots. Αποδείξτε ότι: x_n=O((\log n)^{-\alpha n}).


Γενικά, αν (t_n) είναι μια ακολουθία με t_1>1 που αυξάνει γνήσια στο άπειρο, αν k\in {\mathbb N} και (x_n) είναι ακολουθία με μη αρνητικούς όρους τέτοια που x_n\leq\frac{1}{t_n}(x_{n-1}+\cdots +x_{n-k}) για όλους τους n>k τότε x_n=O(e^{s_n}/\sqrt[k]{t_1\cdots t_n}) όπου s_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt[k]{t_i-1}}. Από δω βλέπεις ας πούμε ότι x_n=O((1+\epsilon )^n/\sqrt[k]{t_1\cdots t_n}) για οποιοδήποτε \epsilon >0. Αν η σειρά \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[k]{t_n}} συγκλίνει τότε μπορείς να διώξεις και το \epsilon.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απειροστικός Λογισμός: ασκήσεις στις ακολουθίες
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Αύγ 2010, 16:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
στάθης έγραψε:
Αν εννοείς x_{n+2}\leq \frac{1}{(n+2)^2}(x_n+x_{n+1}) βγαίνει αμέσως με επαγωγή ότι x_n\leq\frac{\alpha }{n!} με τον \alpha =\max\{ x_1, 2x_2\}.


Ναι, αυτό εννοώ! Συγγνώμη για το τυπογραφικό. Ωραίος και στο υπόλοιπο!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 28 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group