forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 14 Δεκ 2018, 23:10

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ποιό είναι μεγαλύτερο ?
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Ιούλ 2006, 15:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Ποιό είναι μεγαλύτερο;

e^\pi \ \ \ \ \ \ \ \text{\gr 'h}  \ \ \ \ \ \ \  \pi^e


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Ιούλ 2006, 15:52 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Θυμάμαι που είχα κάνει αυτή την άσκηση στο λύκειο.. Μάλιστα είχα αισθανθεί ιδιαίτερα περήφανος όταν την έλυσα

Αν θυμάμαι καλά βγαίνει κάνοντας ανάλυση στην συνάρτηση f(x) = \frac{\log x}{x}.

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Ιούλ 2006, 19:27 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Απρ 2006, 17:11
Δημοσ.: 146
Ιδέα: ας κάνουμε την γραφική παράσταση της εκθετικής και της φυσικής λογαριθμικής συνάρτησης και χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος θα αποδείξουμε \pi^{e} < e^{\pi} .

Γνωρίζουμε ότι ln\pi < \pi και ότι \pi < \pi^{e} . Συνεπώς ln\pi < \pi < \pi^{e} .

Επίσης οι γραφικές παραστάσεις της φυσικής λογαριθμικής και της εκθετικής είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x. Επομένως elnπ < π.

Θεωρώντας τα εμβαδά Ε1 και Ε2 (στο σημείο αυτό χρησιμοποιούμε την γεωμετρική ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος) γράφουμε:

Ε1 = \int_{ln\pi}^{eln\pi}e^{x}dx=\pi^{e}-\pi

Ε2 = \int_{ln\pi}^{eln\pi}e^{x}dx=e^{\pi}-\pi

Παρατηρούμε ότι Ε1<Ε2 δηλαδή \pi^{e} < e^{\pi}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιούλ 2006, 09:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Πολύ καλή η απόδειξη του γεωμέτρη.. Eirik περιμένουμε και την απόδειξη του αναλύστα..


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιούλ 2006, 11:39 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Είναι πραγματικά απλό...

Βρίσκεις ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (e,+\infty), επομένως f(e) > f(\pi). Συνεπώς \pi \log e > e \log \pi ή \log e^\pi > \log \pi^e και αφού η \log είναι γνησίως αύξουσα προκύπτει το ζητούμενο αποτέλεσμα.

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιούλ 2006, 11:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
Σωστός ο Eirik. Είναι μια απλή μελέτη συνάρτησης χρησιμοποιώντας τη μονοτονία του λογαρίθμου.

_________________
Hopes are just lies to make an alternative truth...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιούλ 2006, 12:11 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Θα δώσω μια απόδειξη του κομπιουτερίστα.

3.14 < \pi < 3.15

2.71 < e < 2.72

Υψώνοντας σε δυνάμεις:

22.88 < e^\pi < 23.39

22.21 < \pi^e < 22.67

και το ζητούμενο φαίνεται.
(ok ίσως είναι η απόδειξη του κομπογιαννίτη!)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group