forum.math.uoa.gr
http://forum.math.uoa.gr/

Συναρτησιακή Ανάλυση
http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=37&t=232
Σελίδα 1 από 1

Συγγραφέας:  Yiannis [ 23 Απρ 2006, 13:58 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Συναρτησιακή Ανάλυση

[tex]\ell_{p}=\{(a_{n})\subseteq\mathbb{R}:\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|^{p}<\infty\}, 1\leq p<\infty[/tex]

[tex]\ell_{\infty}=\{(a_{n})\subseteq\mathbb{R}:(a_{n}) [/tex]φραγμένη[tex]\}[/tex]

[tex]c(\mathbb{N})=\{(a_{n})\subseteq\mathbb{R}:(a_{n}) [/tex]συγκλίνει[tex]\}[/tex]

[tex]c_{o}(\mathbb{N})})=\{(a_{n})\subseteq\mathbb{R}:(a_{n}) |a_{n}|\rightarrow 0, n\rightarrow \infty\}[/tex]

[tex]c_{oo}(\mathbb{N})=\{(a_{n})\subseteq\mathbb{R}:\exists n_{o}\in\mathbb{N}:a_{n}=0, \forall n\geq n_{o}\}[/tex]

Ποιοί από τους παρακάτω χώρους με την αντίστοιχη νόρμα, αποτελούν χώρους Banach;

1. [tex](\ell_{p},\|\cdot\|_{p}), \|x\|_{p}=(\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}}[/tex], όπου [tex]x=(x_{n})\in\ell_{p} [/tex]

2. [tex](\ell_{\infty},\|\cdot\|_{\infty})[/tex], [tex]\|x\|_{\infty}=sup_{n\in\mathbb{N}}|x_{n}|[/tex], όπου [tex]x=(x_{n})\in\ell_{\infty} [/tex]

3. [tex]c(\mathbb{N})[/tex], [tex]c_{o}(\mathbb{N})[/tex], [tex]c_{oo}(\mathbb{N})[/tex]

4. [tex](\mathcal{C}([a,b]),|\cdot\|)[/tex], όπου [tex]\|f\|=max\{|f(t)|:t\in[a,b]\}, f\in \mathcal{C}([a,b])[/tex]

Συγγραφέας:  Constantine [ 23 Απρ 2006, 14:12 ]
Θέμα δημοσίευσης: 

Οι χώροι 1,2,4 είναι Banach.

Ο χώρος των ακολουθιών που συγκλίνουν στο μηδέν

με την supremum νόρμα είναι επίσης Banach.

Ο χώρος των τελικά μηδενικών ακολουθιών δεν

είναι πλήρης με όποια νόρμα και αν τον εφοδιάσουμε.

Συγγραφέας:  eirik [ 23 Απρ 2006, 16:35 ]
Θέμα δημοσίευσης: 

Constantine έγραψε:
Ο χώρος των τελικά μηδενικών ακολουθιών δεν

είναι πλήρης με όποια νόρμα και αν τον εφοδιάσουμε.


Πώς θα μπορούσαμε να σχετίζεται αυτή η παρατήρηση με το θεώρημα Stone-Weierstrass;

Συγγραφέας:  Yiannis [ 23 Απρ 2006, 22:40 ]
Θέμα δημοσίευσης: 

Constantine: Ορθά.
Ο χώρος των τελικά μηδενικών ακολουθιών δεν είναι πλήρης με όποια νόρμα και αν τον εφοδιάσουμε γιατί έχει αριθμήσιμη βάση Hamel.
Διαφορετικά, αρκεί να δείξουμε ότι ο [tex]c_{oo}[/tex] ως υπόχωρος του [tex]\ell_{\infty}[/tex] δεν είναι κλειστός [Πάρτε π.χ. την ακολουθία [tex]x_{n}=(1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{n},0,\ldots)\in c_{oo}(\mathbb{N})[/tex] και
[tex]x=(1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{n},\frac{1}{n+1}\ldots)\in \ell_{\infty}- c_{oo}(\mathbb{N})[/tex].
Τότε [tex]x_{n}\rightarrow x\in\ell_{\infty}- c_{oo}(\mathbb{N})[/tex]].

Συγγραφέας:  Constantine [ 24 Απρ 2006, 00:40 ]
Θέμα δημοσίευσης: 

με το Stone-Weierstrass ?

Δεν ξέρω. Θα το σκεφτώ !!

Αρχίζει και αποκτά ενδιαφέρον...

Συγγραφέας:  Yiannis [ 24 Απρ 2006, 15:57 ]
Θέμα δημοσίευσης: 

θεώρημα Weierstrass:
Κάθε [tex]f\in \mathcal{C}([a,b])[/tex] μπορεί να προσεγγισθεί από μια ακολουθία πολυωνύμων.

θεώρημα Stone-Weierstrass:
Στο προηγούμενο Θεώρημα, αντί για το (κλειστό & φραγμένο) [a,b] μπορούμε να πάρουμε ένα συμπαγή χώρο Hausdorff [tex]Κ[/tex] και αντί για το χώρο των πολυωνύμων, παίρνουμε υποάλγεβρες του [tex]\mathcal{C}(Κ)[/tex].

Τώρα, για το αντικείμενό μας, αφού ο [tex](\mathcal{C}([a,b]),\|\cdot\|)[/tex] είναι (άλγεβρα) Banach, ο χώρος των πολυωνύμων είναι υποάλγεβρα του [tex](\mathcal{C}([a,b])[/tex], έστω [tex]Α[/tex], και άρα από το Θ. Weierstrass, η υποάλγεβρα αυτή είναι πυνκή στο [tex]\mathcal{C}([a,b])[/tex], δηλ. [tex]\overline{A}=\mathcal{C}([a,b])[/tex].

Τώρα, όσον αφορά το:

Παράθεση:
Constantine έγραψε:
Ο χώρος των τελικά μηδενικών ακολουθιών δεν

είναι πλήρης με όποια νόρμα και αν τον εφοδιάσουμε.


Πώς θα μπορούσαμε να σχετίζεται αυτή η παρατήρηση με το θεώρημα Stone-Weierstrass;


ίσως αν πάρουμε τους όρους της τελικά μηδενικής ακολουθίας ως συντελεστές σε ένα πολυώνυμο...
ή ας σκεφτούμε ότι οι ακολουθίες είναι συναρτήσεις και ακολουθίες [tex]\leftrightarrow[/tex] σειρές...

Συγγραφέας:  Constantine [ 07 Ιούλ 2006, 01:04 ]
Θέμα δημοσίευσης: 

θεωρούμε τον [tex]c_{00}[/tex] ως υπόχωρο του [tex]\ell_{\infty}[/tex]

θεωρούμε την [tex]x_{n}=(0,...,0,\frac{1}{n^{2}},0,...)[/tex] και

παρατηρούμε ότι η [tex] \sum_{n=1}^{\infty}||x_{n}||_{\infty}[/tex]

συγκλίνει στον [tex]c_{00}[/tex] αλλά η [tex] \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}[/tex] όχι.

Τι συμπέρασμα προκύπτει;

Συγγραφέας:  Yiannis [ 07 Ιούλ 2006, 14:23 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Συναρτησιακή Ανάλυση

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}||x_{n}||=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}<\infty[/tex].
Τα μερικά αθροίσματα είναι
[tex]S_{k}=x_{1}+\ldots+x_{k}=(1,\frac{1}{2^{2}},\ldots,\frac{1}{k^{2}},0,\ldots)[/tex][tex]\rightarrow x=(\frac{1}{n^{2}})_{n}\in\ell_{\infty}-C_{oo}\mathbb(N)[/tex].
Βρήκαμε λοιπόν μια σειρά στο [tex]C_{oo}\mathbb(N)[/tex] η οποία συγκλίνει απολύτως αλλά δε συγκλίνει (απλά).
Συνεπώς, ο [tex](C_{oo}\mathhb(N),||.||_{\infty})[/tex] δεν είναι Banach.

Σελίδα 1 από 1 Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/