forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 17 Αύγ 2018, 13:04

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Συναρτησιακή Ανάλυση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Απρ 2006, 15:24 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
1. Έστω [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] και [tex]\mathcal{C}^{n}[a,b], a<b[/tex], ο χώρος των συναρτήσεων
[tex]f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}[/tex] που έχουν συνεχείς παραγώγους [tex]n-[/tex]τάξης στο [tex][a,b][/tex] με νόρμα
[tex]\|f\|=max\{max|f^{n}(t)|:t\in[a,b], 0\leq k\leq n\}[/tex].
Αποδείξτε ότι ο [tex]\mathcal{C}^{n}[a,b][/tex] είναι χώρος Banach.

[Υπόδειξη: Αν [tex]f_{n}\rightarrow f[/tex] ομοιόμορφα και [tex]f'_{n}\rightarrow g[/tex] ομοιόμορφα, τότε [tex]f'=g[/tex]].


Η ακόλουθη άσκηση αποτελεί ένα χαρακτηρισμό των κυρτών συνόλων.

2. Έστω [tex]C\subseteq X[/tex], όπου [tex]X[/tex] διανυσματικός χώρος. Δείξτε ότι [tex]C[/tex] κυρτό [tex]\Leftrightarrow \sum^{n}_{i=i}\lambda_{i}x_{i}\in C, \forall x_{1}, x_{2},\ldots,x_{n}\in C, \forall\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}\geq 0[/tex], [tex]\sum^{n}_{i=1}\lambda_{i}=1.[/tex]

[Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε επαγωγή στο n. Παρατηρείστε ότι
[tex]\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}x_{2}+\lambda_{3}x_{3}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})(\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}x_{1}+\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}x_{2})+\lambda_{3}x_{3}[/tex]].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Φεβ 2007, 19:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Φεβ 2007, 13:59
Δημοσ.: 131
Την δεύτερη την είχα λύσει για κάποιο φυλλάδιο συναρτησιακής αλλα δεν έχει πολύ ενδιαφέρον, είναι πραξοδουλειά. Αν ενδιαφέρεται κάποιος θα την παρουσιάσω.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group