forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 27 Μάιος 2018, 19:35

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Μιγαδική Ανάλυση/Σειρές Fourier
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Απρ 2006, 17:10 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
Όσοι έχουν παρακολουθήσει μαθήματα Μιγαδικής Ανάλυσης (κυρίως ΙΙ), συνάντησαν το δείκτη στροφής καμπύλης στο Μιγαδικό Επίπεδο. Παρακολουθώντας κάποια μαθήματα Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων συναντήσαμε κάποια στιγμή Σειρές Fourier. Η απορία μου είναι αν υπάρχει κάποια σύνδεση μεταξύ των συντελεστών Fourier και του δείκτη στροφής καμπύλης.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Απρ 2006, 19:55 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Δεν μπορω να σκεφτω καποια σχεση μεταξυ των συντελεστων Fourier και του δεικτη στροφης μιας καμπυλης, εκτος ισως του γεγονοτος οτι οι τυποι τους μοιαζουν καπως στο ματι:
  1. \textsl{Ind}_\gamma(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{\textsl{d}z}{z-z_0}
  2. a_n(f) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) e^{-int}\textsl{d}t, για μιγαδικες συναρτησεις με πεδιο ορισμου το [-\pi,\pi]
Ο δεικτης στροφης ειναι ενας ακεραιος αριθμος που εκφραζει μια σχεση μεταξυ σημειου και καμπυλης, ενω οι συντελεστες Fourier ειναι μια ακολουθια μιγαδικων (που επιπλεον συγκλινει στο 0).

Ενας τροπος να δεις τους συντελεστες Fourier ειναι ως συντελεστες των προβολων της f πανω σε στοιχεια ορθοκανονικης βασης του διανυσματικου χωρου των συναρτησεων.
Οπως θα θυμασαι ισως απο την Αναλυτικη Γεωμετρια, η προβολη ενος διανυσματος a πανω σε ενα διανυσμα b δινεται απο τον τυπο:

\textsl{pr}_b a = \frac{\left<a,b \right>}{\left< b, b \right>}\: b, οπου \frac{\left<a,b \right>}{\left< b, b \right>} ο συντελεστης προβολης του a στo b.

Αν επιπλεον υποθεσουμε οτι \|b\|=1 (οπως αλλωστε περιμενουμε να συμβαινει στα διανυσματα μιας ορθοκανονικης βασης), τοτε ο τυπος απλοποιειται και παιρνουμε

\textsl{pr}_b a = \left<a,b \right>\; b

Αν τωρα παρουμε τον διανυσματικο χωρο πχ ολων των συνεχων συναρτησεων που οριζονται [-\pi,\pi], τοτε μπορω να ορισω το παρακατω εσωτερικο γινομενο

\left< f, g \right> = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \overline{g(t)} \textsl{d}(t)

Αν κοιταξεις τωρα καλα τον ορισμο του συντελεστη Fourier, θα δεις οτι στην ουσια ισουται με το εσωτερικο γινομενο \left<f, e_n \right>, με e_n(t) = e^{int}.

Ερωτημα: Στον \mathbb{R}^3, αν παρω τις προβολες ενος διανυσματος \overrightarrow{a} πανω σε καθενα απο τα διανυσματα e_1,e_2,e_3 μιας ορθοκανονικης του βασης και τις προσθεσω, τι θα μου προκυψει;

Στα γραφω επειδη βλεπω και απο το αλλο σου post οτι ενδιαφερεσαι για συναρτησιακη :wink:

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Απρ 2006, 22:09 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
Apla anafereis ti einai seira Fourier... :shock:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Απρ 2006, 23:12 
Χωρίς σύνδεση
Επίτιμος Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 18 Φεβ 2006, 22:25
Δημοσ.: 1377
Τοποθεσια: Nowhere Land
Καλα δεν τα πηγα;

Το παραπανω αποτελει μια εναλλακτικη διατυπωση της κλασικης αναλυσης Fourier οπως πιθανοτατα τη διδαχθηκες στις Μερικες Διαφορικες εξισωσεις.

Αλλα οπως φαινεται εσυ την ξερεις ηδη...

_________________
\exists x.\varphi(x) \rightarrow \forall x.\varphi(x)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Απρ 2006, 14:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 17 Απρ 2006, 00:26
Δημοσ.: 600
Τοποθεσια: Ζωγράφου - Αθήνα
Τα έχεις γράψει πολύ καλα. Η ιδέα πίσω από τις σειρές Fourier είναι αυτό που έχεις ήδη αναφέρει με το εσωτερικό γινόμενο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group