forum.math.uoa.gr
http://forum.math.uoa.gr/

Διαφορική εξίσωση
http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=37&t=19561
Σελίδα 1 από 1

Συγγραφέας:  detnvvp [ 07 Μαρ 2018, 16:59 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Διαφορική εξίσωση

Έστω f μία απόλυτα συνεχής συνάρτηση στο (0,\infty) με tf'(t)=f(t) για κάθε t>0. Δείξτε ότι f(t)=ct.

Edit: ας υποθέσουμε ότι η f είναι απόλυτα συνεχής σε κάθε ανοικτό, γνήσιο υποδιάστημα του (0,\infty), και όχι σε όλο το (0,\infty).

Συγγραφέας:  stranger [ 20 Μαρ 2018, 04:36 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: Διαφορική εξίσωση

Απο οτι βλεπω γραφεις f'(t) για την παραγωγο της f, οποτε θεωρεις οτι η f ειναι παραγωγισιμη στο (0,infty).
Βασει αυτου μπορουμε να γραψουμε την εξισωση tf'(t)=f(t) ως εξης: f'(t)t-(t)'f(t)=0 η οποια ειναι ισοδυναμη με την [f'(t)t-(t)'f(t)]/t^2=0 που ειναι η ιδια εξισωση με την (f(t)/t)'=0 απο τον κανονα του πηλικου. Απο αυτη την εξισωση επεται η f(t)/t ειναι σταθερη.Αρα f(t)=ct.

Συγγραφέας:  detnvvp [ 23 Μαρ 2018, 11:20 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: Διαφορική εξίσωση

Ίσως θα έπρεπε να το αναφέρω αυτό στην εκφώνηση: από τον ορισμό της απόλυτης συνέχειας, έχουμε ότι η f' υπάρχει σχεδόν παντού, ανήκει στον L^1, και ισχύει το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού σε κάθε υποδιάστημα του (0,\infty).

Άλλαξα λίγο την εκφώνηση.

Συγγραφέας:  stranger [ 26 Μαρ 2018, 05:41 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: Διαφορική εξίσωση

Εστω x<y στο (0,οο).Τοτε η f ειναι απολυτα συνεχης στο [x,y].Επισης η συναρτηση t->1/t ειναι απολυτα συνεχης στο [x,y] αφου ειναι συνεχως διαφορισιμη. Αρα και το γινομενο της f με την 1/t ειναι απολυτα συνεχης συναρτηση στο [x,y].Αρα στο [x,y] ισχυει το θεμελιωδες θεωρημα του απειροστικου λογισμου για την συναρτηση f(t)/t το οποιο σημαινει οτι int_x^y (f(t)/t)' dt = f(y)/y - f(x)/x.
Ομως (f(t)/t)'=0 σχεδον παντου επειδη tf'(t)=f(t) σχεδον παντου.Αρα f(y)/y=f(x)/x.
Απο αυτο συμπεραινουμε οτι f(t)=ct.
Στα παραπανω χρησιμοποιησα οτι η f ειναι απολυτα συνεχης σε ενα συμπαγες διαστημα.Αυτο βγαινει απο το γεγονος οτι καθε συμπαγες διαστημα περιεχεται σε ενα ανοιχτο διαστημα και σε αυτο η f ειναι απολυτα συνεχης απο υποθεση.

Συγγραφέας:  detnvvp [ 31 Μαρ 2018, 12:44 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: Διαφορική εξίσωση

Σωστά, πολύ ωραία.

Η ουσία είναι στο ότι χρειάζεται αυτό το επιπλέον επιχείρημα με το γινόμενο των απόλυτα συνεχών συναρτήσεων.

Σελίδα 1 από 1 Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/