forum.math.uoa.gr
http://forum.math.uoa.gr/

Διαφορισιμότητα 2 μεταβλητών.
http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=37&t=19471
Σελίδα 1 από 1

Συγγραφέας:  Smn [ 26 Ιαν 2018, 11:06 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Διαφορισιμότητα 2 μεταβλητών.

Υπάρχουν 2 κριτήρια για την διαφορισιμότητα συνάρτησης 2 μεταβλητών σε σημείο x0:
1) Άν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι στο x0 και μια απ'αυτές είναι συνεχής σε περιοχή του x0.
2)Άν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι σε περιοχή του x0 και είναι συνεχής σε αυτήν την περιοχή.
Μπορεί να εφαρμόζεται το 1) και όχι το 2)? Δηλαδή να ορίζεται η df/dx ως συνεχής σε περιοχή του x0 η df/dy να μην ορίζεται καν για x=/=x0 και η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη?

Συγγραφέας:  detnvvp [ 26 Ιαν 2018, 12:01 ]
Θέμα δημοσίευσης:  Re: Διαφορισιμότητα 2 μεταβλητών.

Για το (2) που λες, η συνέχεια της f δεν αρκεί για να συμπεράνουμε παραγωγισιμότητα, εκτός αν εννοείς συνέχεια των μερικών παραγώγων.


Για την ερώτησή σου, έστω g μία συνεχής και πουθενά παραγωγίσιμη συνάρτηση. Έστω τώρα f(x,y)=(x^2+y^2)g(y). Τότε η f ικανοποιεί τις ιδιότητες που θες:

i) Για κάθε x, f_x=2xg(y), η οποία είναι συνεχής.

ii) Για (x,y)\neq (0,0), τότε f(x,y+h)-f(x,y)=(x^2+(y+h)^2)g(y+h)-(x^2+y^2)g(y)=(x^2+y^2)(g(y+h)-g(y))+2yhg(y+h)+h^2g(y+h). Αν η f_y(x,y) υπάρχει στο (x,y), τότε από τη συνέχεια της g έχουμε ότι το όριο (x^2+y^2)(g(y+h)-g(y))/h, όταν το h πάει στο 0, υπάρχει, το οποίο είναι άτοπο, αφού η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο y. Άρα η f_y(x,y) δεν υπάρχει στο (x,y)\neq (0,0).

iii) Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,0), αφού |f(x,y)|\leq C(x^2+y^2) κοντά στο (0,0).

Σελίδα 1 από 1 Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/