[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 282: copy(0b4aefae1e2062ef087d762e3c5e7d79.png): failed to open stream: No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/0b4aefae1e2062ef087d762e3c5e7d79.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/0b4aefae1e2062ef087d762e3c5e7d79.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/0b4aefae1e2062ef087d762e3c5e7d79.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 282: copy(0b4aefae1e2062ef087d762e3c5e7d79.png): failed to open stream: No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/0b4aefae1e2062ef087d762e3c5e7d79.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/0b4aefae1e2062ef087d762e3c5e7d79.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/0b4aefae1e2062ef087d762e3c5e7d79.png): No such file or directory
forum.math.uoa.gr • Προβολή θέματος - Άσκηση Θεωρίας Μέτρου

forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Νοέμ 2017, 09:26

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση Θεωρίας Μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιουν 2017, 17:32 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Αν \mu,\nu μη αρνητικά πεπερασμένα Borel μέτρα στον \mathbb{R}^n που είναι singular μεταξύ τους, να βρείτε το όριο

\lim_{r\rightarrow 0} \frac{\nu(B(x,r))}{\mu(B(x,r))}

για \mu-σχεδόν κάθε x και \nu-σχεδόν κάθε x.

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Θεωρίας Μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιουν 2017, 20:36 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 22 Ιουν 2016, 22:20
Δημοσ.: 21
Ξέρω μόνο πολύ βασική θεωρία μέτρου οπότε έπρεπε να διαβάσω διάφορες σημειώσεις για να φτιάξω μια εικόνα. Ας δοκιμάσω όμως.

Καταρχάς αφού τα μέτρα είναι πεπερασμένα και Borel είναι και Radon. Άρα προσεγγίζονται από τα ανοιχτά "απέξω". Άρα

\lim_{r \to 0}\mu(B(x,r))=\mu({x}) ,
\lim_{r \to 0}\nu(B(x,r))=\nu({x})

Τώρα, καθώς είναι κάθετα μεταξύ τους, δεν μπορούν και τα δύο όρια να πηγαίνουν στο 0, και καθώς είναι πεπερασμένα ούτε στο άπειρο. Άρα τελικά ο λόγος τείνει στο \frac{\nu({x})}{\mu({x})}, εκτός άμα \mu({x})=0 που τότε ο λόγος πάει στο άπειρο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Θεωρίας Μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιούλ 2017, 20:38 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Μα αφού είναι κάθετα μεταξύ τους πως θα μπορούσαν το [unparseable or potentially dangerous latex formula] και το [unparseable or potentially dangerous latex formula] να είναι ταυτόχρονα μη μηδενικά;

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Θεωρίας Μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιούλ 2017, 21:25 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 22 Ιουν 2016, 22:20
Δημοσ.: 21
Έχεις δίκιο μπέρδεψα τελείως τις έννοιες :oops:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Θεωρίας Μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Νοέμ 2017, 11:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4235
Έχω Ω=[0,1] και μέτρο λεμπεκουε.
Έστω
Xn(τ)=n αν τ ανήκει στο (0,1/ν], αλλιώς 0
τ ανήκει στο [0,1] γενικά

ωραία διασθητικά το βλέπω ότι το Χν τείνει στο 0
αλλά σκεφτόμενος όπως στη Θ. Πιθανοτήτων λεω ότι πρέπει νδο
Σ μ(Χν>e) είναι πεπερασμένο (λήμμα Μπορελ κλπ)
αλλά
Σ μ(Χν>e) =Σ1/ν= άπειρο
Δεν δουλεύουν αυτά έτσι εδώ, ή τέλος πάντων πως αποδεικνύεται το ζητούμενο

(η λατεχ δεν τρέχει)


b) Ερώτημα

g(X,N)=XΝ
με Χ στο R και N στους φυσικούς
είναι Borel μετρήσιμη αυτή;

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Θεωρίας Μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Νοέμ 2017, 22:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 381
Η εφαρμογή του Borel-Cantelli που έχεις στο νου σου για να συμπεράνεις σ.π. σύγκλιση, είναι ικανή, αλλά όχι αναγκαία (και ένα παράδειγμα για το ότι δεν είναι αναγκαία είναι το συγκεκριμένο). Άρα καλύτερα να πας με τον ορισμό της σύγκλισης που σε ενδιαφέρει:

Για τη σχεδόν παντού σύγκλιση, παρατήρησε ότι για κάθε t\in (0,1], ισχύει ότι X_n(t)\rightarrow 0, και επειδή το σύνολο (0,1] έχει μέτρο 1, συμπεραίνεις ότι η ακολουθία σου συγκλίνει σχεδόν παντού στη μηδενική συνάρτηση.

Για την κατά μέτρο σύγκλιση, προφανώς αφού συγκλίνει σ.π. θα συγκλίνει και κατά μέτρο. Με τον ίδιο τρόπο συμπεραίνεις ότι συγκλίνει και κατά κατανομή.

Η ακολουθία σου ανήκει επίσης στον L_p για κάθε p\geq 1. Για p=1, έχεις ότι \int X_n d\mu =1 για κάθε n\in \mathbb{N} και επειδή το ολοκλήρωμα της μηδενικής είναι μηδέν, συμπεραίνεις ότι η ακολουθία δε συγκλίνει στον L_1. (Εδώ πρόσεξε ότι το μόνο πιθανό όριο της Χ_n είναι η μηδενική συνάρτηση επειδή ήδη ξέρουμε ότι συγκλίνει στη μηδενική σ.π. Αν δεν είχες αυτή την πληροφορία, μπορούσες απλά να παρατηρήσεις ότι η Χ_n δεν είναι Cauchy στον L_1, άρα δε συγκλίνει). Αντίστοιχα για p>1 το εν λόγω ολοκλήρωμα βγαίνει n^{p-1} το οποίο συγκλίνει στο άπειρο καθώς το n μεγαλώνει, άρα ξανά η X_n βγαίνει ότι δεν είναι συγκλίνουσα (δεν είναι καν φραγμένη σε αυτή την περίπτωση).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Θεωρίας Μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Νοέμ 2017, 08:40 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4235
Ευχαριστώ για την απάντηση. :D
Ενδιαφέρον αυτό, αν και μάλλον κάπου τα χω μπερδέψει πως αφού για άπειρα ν, |Χν|>ε , τότε το Χv δεν αποκλείνει του 0, αυτό δεν έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας;

Παράθεση:
Για τη σχεδόν παντού σύγκλιση, παρατήρησε ότι για κάθε t\in (0,1], ισχύει ότι X_n(t)\rightarrow 0, και επειδή το σύνολο (0,1] έχει μέτρο 1, συμπεραίνεις ότι η ακολουθία σου συγκλίνει σχεδόν παντού στη μηδενική συνάρτηση.

Αυτό πάλι όσο και αν το κατανοώ λογικά (και το βλέπω και σε βιβλία σαν προφανές) , δεν βλέπω πως προκύπτει από τον ορισμό. Αν είχα στο [α,β] με μήκος διαστήματος όχι 1, αυτό δε θα ίσχυε;

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Θεωρίας Μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Νοέμ 2017, 15:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 381
barney έγραψε:
αφού για άπειρα ν, |Χν|>ε , τότε το Χv δεν αποκλείνει του 0, αυτό δεν έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας;


Αν η X_n ήταν ακολουθία πραγματικών αριθμών, τότε ναι, η ύπαρξη κάποιου ε>0 με αυτή την ιδιότητα είναι αρκετή ώστε να συμπεράνεις ότι η X_n δε συγκλίνει στο μηδέν. Όμως εδώ η X_n δεν είναι ακολουθία πραγματικών αριθμών, αλλά συναρτήσεων και πρέπει να χρησιμοποιήσεις τον αντίστοιχο ορισμό για τη σύγκλιση συναρτήσεων που σε ενδιαφέρει. Προφανώς, επειδή υπάρχουν πολλές διαφορετικές έννοιες σύγκλισης συναρτήσεων, οι απαντήσεις που θα παίρνεις θα ποικίλλουν αναλόγως με το ποια σύγκλιση μελετάς.

Αν δουλέψεις με τον ορισμό της σ.π. σύγκλισης, τότε σε ενδιαφέρει να μελετήσεις τη σύγκλιση της (πραγματικής) ακολουθίας X_n(t) για τις διάφορες τιμές του t. Πιο συγκεκριμένα πρέπει να ορίσεις το σύνολο Ν=\{ t\in [0,1]: lim X_n(t) \neq 0 \} και να δείξεις ότι έχει μέτρο μηδέν. Στην περίπτωσή σου, το Ν είναι το μονοσύνολο \{0\} και επειδή τα μονοσύνολα έχουν μέτρο μηδέν συμπεραίνεις το ζητούμενο. Αντίστοιχα, στην περίπτωση που ο χώρος σου είναι το [α,β] και η ακολουθία Χ_n παρόμοια, το Ν θα σου βγει ότι είναι ξανά μονοσύνολο, το \{α\}.

Το ότι τα σύνολα Α_n=\{t\in [0,1]: |X_n(t)| \geq \epsilon\} είναι μη κενά, δεν έρχεται σε αντίφαση ούτε με τον ορισμό της σύγκλισης κατά μέτρο. Σύμφωνα με τον ορισμό, πρέπει να δείξεις ότι P(A_n)\rightarrow 0, κάτι το οποίο ισχύει, αφού στο παράδειγμά σου το μέτρο των συνόλων αυτών είναι μικρότερο ή ίσο του 1/n και η 1/n συγκλίνει στο μηδέν.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Θεωρίας Μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Νοέμ 2017, 11:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4235
Σε ευχαριστώ ξανά 1/2rizax ήσουν κατατοπιστικότατος.
Και ένα τελευταίο ερώτημα (πάνω σε αυτό) αν και έχω γίνει κουραστικός
Το supnXn(t) πως το βρίσκουμε εδώ;


edit
Μετά από ψάξιμο, βρήκα ότι supnXn(t)=[1/t] για t στο [0,1] λογικά εννοεί ακέραιο μέρος;

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Θεωρίας Μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Νοέμ 2017, 14:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 381
Μια μικρή διόρθωση στα παραπάνω. Νόμιζα ότι το σύνολο στο οποίο παίρνεις την τιμή n ήταν το [0,1/n], ενώ είχες γράψει (0,1/n]. Ό,τι έγραψα όμως εξακολουθεί να ισχύει. Η μόνη διαφορά είναι ότι το σύνολο Ν που όρισα στο 2ο ποστ μου, πλέον είναι το κενό, αφού στο t=0 η X_n(0) είναι η σταθερά μηδενική ακολουθία.

Για το supremum, παρατήρησε ότι για t=0 το sup_{n\in \mathbb{N}}X_n(0) είναι το μηδέν. (Αν X_n(0)=n, τότε θα παίρναμε +άπειρο). Για t>0, η X_n(t) θα παίρνει είτε την τιμή μηδέν (αν t>1/n) είτε την τιμή n (αν t\leq 1/n), επομένως το supremum σου είναι το μεγαλύτερο n για το οποίο το t είναι μικρότερο ή ίσο του 1/n, δηλαδή το το n_t=\max\{n\in\mathbb{N}: t\leq \frac{1}{n}\}.

_________________
Infinite possibilities and all he can do is whine.
You can do anything, you lucky bastard, you're alive! What's a little pain compared to that?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση Θεωρίας Μέτρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Νοέμ 2017, 16:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4235
Ευχαριστώ ξανά :D

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group