forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2017, 06:31

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θέμα Συναρτησιακής Ανάλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Μάιος 2017, 17:14 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 33
Για \displaystyle{p\in\left[1,+\infty\right)} θέτουμε

\displaystyle{E_{p}=\left\{f\in L^{p}([0,+\infty))\,\,,\int_{0}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=0\right\}}


i. Δείξτε ότι ο \displaystyle{E_{p}} είναι γραμμικός υπόχωρος του \displaystyle{L^{p}([0,+\infty))}

ii. Δείξτε ότι ο \displaystyle{E_{p}} είναι κλειστός αν, και μόνο αν, \displaystyle{p=1} .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέμα Συναρτησιακής Ανάλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Μάιος 2017, 23:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 419
Υπάρχει ένα πρόβλημα στον ορισμό του E_p. Αν p>1 καιf\in L^p(0,\infty), τότε δεν είναι απαραίτητο ότι η f ανήκει στον L^1, οπότε πως ερμηνεύεται το ολοκλήρωμα της f στο (0,\infty);

Μήπως στον ορισμό του E_p πρέπει η f να ανήκει στον L^p\cap L^1;

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέμα Συναρτησιακής Ανάλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μάιος 2017, 01:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 419
Έστω ότι ορίζουμε E_p=\left\{f\in L^p\left([0,\infty)\right)\cap  L^1\left([0,\infty)\right):\int_0^{\infty}f=0\right\}.

Έστω f_n=\frac{1}{n}\chi_{[0,n]}. Τότε \int_0^{\infty}f_n=1, και, αν p>1, \int_0^{\infty}|f_n|^p=\int_0^n\frac{1}{n^p}\,dx=n^{1-p}\to 0, επομένως f_n\to 0 στον L^p.

Θέτουμε g(x)=e^{-x} για x>0 και h_n=g-f_n. Τότε h_n\in L^p\cap L^1 για κάθε n\in\mathbb N, και \int_0^{\infty}h_n=\int_0^{\infty}g-\int_0^{\infty}f_n=1-1=0. Άρα h_n\in E_p. Όμως, h_n\to g στον L^p, και g\notin E_p, επομένως ο E_p δεν είναι κλειστός.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέμα Συναρτησιακής Ανάλυσης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μάιος 2017, 01:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 419
Χρησιμοποιώντας την f_n παραπάνω μπορούμε να δείξουμε ότι ο E_p είναι πυκνός στον L^p για κάθε p>1: αν η g\in L^p έχει φορέα στο [0,M], θέτουμε g_n=\left(g-f_n\int_0^ng\right)\chi_{[0,n]}. Τότε η g_n έχει φορέα στο [0,n] και ανήκει στον L^p, οπότε ανήκει στον L^1. Επίσης, \int_0^{\infty}g_n=\int_0^n g_n=\int_0^ng-\int_0^nf_n\cdot\int_0^ng=0, άρα g_n\in E_p.

Επιπλέον, g-g_n=g\chi_{(n,\infty)}+f_n\int_0^ng, άρα \|g-g_n\|_p\leq\|g\chi_{(n,\infty)}\|_p+\left\|f_n\int_0^ng\right\|_p\leq \|g\chi_{(n,\infty)}\|_p+\|f_n\|_p\left|\int_0^ng\right|. Όμως, από την ανισότητα του Holder, \left|\int_0^ng\right|\leq\int_0^M|g|\leq\left(\int_0^M|g|^p\right)^{1/p}M^{1-1/p}\leq\|g\|_pM^{1-1/p}, άρα \|g-g_n\|_p\leq \|g\chi_{(n,\infty)}\|_p+\|f_n\|_p\|g\|_pM^{1-1/p}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.

Επομένως, έχουμε δείξει οτι ο E_p είναι πυκνός στο χώρο των συναρτήσεων στον L^p με συμπαγή φορέα. Ο τελευταίος χώρος όμως είναι πυκνός στον L^p, άρα ο E_p είναι πυκνός στον L^p.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group