forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Νοέμ 2017, 09:22

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Άπειρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Μάιος 2017, 00:27 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 33
Από διαγωνισμό :

Έστω συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\left(1,+\infty\right)\to \mathbb{R}} τέτοια, ώστε

\displaystyle{f(x)\leq x^2\,\ln\,x\,,\forall\,x>1} και \displaystyle{f^\prime(x)>0\,,\forall\,x>1} .

Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{f^\prime(x)}\,\mathrm{d}x=+\infty}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άπειρο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Μάιος 2017, 00:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 421
Από την ανισότητα Cauchy-Schwartz, για κάθε n,m\in\mathbb{N} με m>n>2, έχουμε ότι

m-n=\int_n^m\,dx=\int_n^m\sqrt{f'(x)}\frac{1}{\sqrt{f'(x)}}\,dx\leq\left(\int_n^mf'(x)\,dx\right)^{1/2}\left(\int_n^m\frac{1}{f'(x)}\,dx\right)^{1/2}=\sqrt{f(m)-f(n)}\left(\int_n^m\frac{1}{f'(x)}\,dx\right)^{1/2}\leq\sqrt{f(m)-f(2)}\left(\int_n^m\frac{1}{f'(x)}\,dx\right)^{1/2},

αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [2,\infty), άρα f(2)<f(n) για κάθε n>2. Eπομένως (m-n)^2\leq (m^2\ln m-f(2))\int_n^m\frac{1}{f&#39;(x)}\,dx.

Η τελευταία ανισότητα συνεπάγεται ότι \int_n^m\frac{1}{f&#39;(x)}\,dx\geq\frac{(m-n)^2}{m^2\ln m-f(2)} για κάθε m,n\in\mathbb N με m>n>2, επομένως, εφαρμόζοντάς τη για n=2^k, m=2^{k+1}, όπου k\in\mathbb N, έχουμε ότι \int_{2^k}^{2^{k+1}}\frac{1}{f&#39;(x)}\,dx\geq\frac{(2^{k+1}-2^k)^2}{2^{2k+2}(k+1)\ln 2-f(2)}=\frac{1}{4\ln 2\cdot(k+1)-2^{-2k}f(2)}. Επομένως, \int_1^{2^{k+1}}\frac{1}{f&#39;(x)}\,dx\geq\sum_{i=1}^k\int_{2^i}^{2^{i+1}}\frac{1}{f&#39;(x)}\,dx\geq\sum_{i=1}^k\frac{1}{4\ln 2\cdot(i+1)-2^{-2i}f(2)}.

Η τελευταία σειρά αποκλίνει όταν k\to\infty, άρα \int_1^{\infty}\frac{1}{f&#39;(x)}\,dx=\infty.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group