[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/881c0802f3980421a15fcf7ba8cc40af.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 300: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.aux): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 301: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.log): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 302: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.dvi): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 303: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.ps): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /var/www/forum.math.uoa.gr/www/latexrender/class.latexrender.php on line 304: unlink(/f95bfd6e55afc1442485791b66e14312.png): No such file or directory
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4312: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4314: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4315: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4316: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
forum.math.uoa.gr • Προβολή θέματος - Θεωρία Μέτρου Ερωτήματα περί ασκήσεων

forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2017, 06:23

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θεωρία Μέτρου Ερωτήματα περί ασκήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιαν 2017, 23:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4235
Εικόνα
Άσκηση 1.1
Λέει κάποιο ερώτημα να βρεθεί An στον Χ : [unparseable or potentially dangerous latex formula]
είναι πχ

[unparseable or potentially dangerous latex formula]

και άλλο ερώτημα
να βρεθεί An ούτε αύξουσα ούτε φθίνουσα που να έχουν [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Μπορώ να πω ότι είναι η Αn:
A1=A, A2=B,A3= Γ, A4=A5=A6=...=Δ (δηλαδή από n=4 και πάνω είναι όλα ισα με το Δ (υποσύνολο του Χ)
όπου Α,Β,Γ υποσύνολα του Χ, με Β υποσύνολο του Α, Β υποσύνολο του Γ
άρα [unparseable or potentially dangerous latex formula]



1.2
Λέει να περιγράψω τις σ-άλγεβρες του Ν
Τι σημαίνει περιγραφή πχ
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[unparseable or potentially dangerous latex formula] με [unparseable or potentially dangerous latex formula]τυχαίο υποσύνολο
[unparseable or potentially dangerous latex formula][unparseable or potentially dangerous latex formula] Α και Β τυχαία υποσύνολα
κοκ
εως δυναμοσύνολο
αυτό είναι περιγραφή;;

Και τέλος στην επόμενη άσκηση λέει για τις παραγόμενες σ-άλγεβρες που παράγονται από 1) μονοσύνολα 2) αριθμήσιμα κλπ σύνολα του R
Είναι τελικά το [unparseable or potentially dangerous latex formula] για όλα αυτά και βγαίνει παρόμοια με την άσκηση με τα [unparseable or potentially dangerous latex formula] κλπ;;;
Aυτά για τώρα, θα γράψω μετά και τίποτα που χω βρει και είμαι σίγουρος για ανταλαγή

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρία Μέτρου Ερωτήματα περί ασκήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2017, 19:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4235
1.4 Αν Α1,Α2,... αύξουσες άλγεβρες νδο η [unparseable or potentially dangerous latex formula] είναι άλγεβρα
ιι)Ισχύει όμοια σχέση για σ-άλγεβρες;
-Το Χ ανήκει στην [unparseable or potentially dangerous latex formula], αφού ανήκει σε κάθε Αι
-Αν Β ανήκει στην άπειρη ένωση [unparseable or potentially dangerous latex formula] , έχουμε ότι από ένα i=n0 και έπειτα το Β θα ανήκει σε όλα τα Ai (αφού είναι και αύξουσες)άρα και το [unparseable or potentially dangerous latex formula] θα ανήκει σε όλα εκείνα τα Ai, έτσι θα ανήκει και στο [unparseable or potentially dangerous latex formula]

-Αν τα Β1,..ΒN στο [unparseable or potentially dangerous latex formula] έχουμε ότι από ένα i=n1 και έπειτα τα Β1,...,ΒN θα ανήκoυν σε όλα τα Ai (αφού είναι και αύξουσες) άρα και τα [unparseable or potentially dangerous latex formula] και σε όλα τα επόμενα Αi άρα και στην ενωσή τους [unparseable or potentially dangerous latex formula], και τελικά και στο [unparseable or potentially dangerous latex formula]

ii) Αντιπαράδειγμα
Χ=N
το Α1 φτιάχνεται από το {1}
το Α2 από το {1,2}
...
και το Αν από το {1,...,ν}
τότε το [unparseable or potentially dangerous latex formula] περιέχει τα Bn={2n}
αλλά η άπειρη ένωση τους που θα πρεπε να περιέχεται για να ναι σ-άλγεβρα, δεν ανήκει σε κανένα από τα Αi, άρα δεν υπάρχει μέσα στο [unparseable or potentially dangerous latex formula]

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: .
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιαν 2017, 12:08 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 08 Οκτ 2014, 19:22
Δημοσ.: 50
.


Τελευταία επεξεργασία απο math trip την 05 Απρ 2017, 09:48, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρία Μέτρου Ερωτήματα περί ασκήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Φεβ 2017, 13:50 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 09 Φεβ 2016, 17:35
Δημοσ.: 24
Για την 2, γνωριζουμε οτι υπαρχει B Fσ συνολο και C μετρου μηδεν ωστε για καθε E μετρησιμο Ε=ΒUC . Εφαρμοζουμε αυτο για Ε=συμπληρωμα του Α συνεπως $R - A$ =BUC συνεπως παιρνοντας συμπληρωμα σε αυτη τη σχεση εχουμε Α=G-C με G = το συμπληρωμα του Fσ αρα ειναι Gδ

Για την 3 , γνωριζουμε οτι f ' = lim f(x+h)-f(x)/h =lim n(f(x+1/n)-f(x)) ομως η n(f(x+1/n)-f(x))=fn(χ) ακολουθια συνεχων συναρτησεων , συνεπως και Borel μετρησιμων αφου καθε συνεχης ειναι Borel μετρησιμη . Συνεπως και το οριο ειναι Borel μετρησιμη.

Για την 4 , θεωρεις αυξουσα ακολουθια hn στο συνολο ωστε hn να συγλινει στο sup{Sh: h ανηκει H}=α το οποιο ειναι πεπερασμενο αφου ν πεπερασμενο αρα sup{Sh: h ανηκει H }<=ν(Χ)<00 .Μπορει να επιλεγει αυξουσα γιατι μπορεις να δειξεις οτι η συναρτηση h=max{h1,h2} ανηκει στο H, αν h1,h2 ανηκουν H).Αυτο ισχυει καθως εχεις ολοκληρωμα στο Α της h =ολοκληρωμα της h πανω στο ΑτομηF +ολοκληρωμα της h πανω στο Α-F , με F={h1>h2}
αρα αφου h1,h2 ανηκουν H εχεις οτι Sh<=ν(ΑτομηF)+ν(Α-F)=ν(Α) συνεπως h anhkei H. Opote αν εχεις hn που συγλκινει στο α την αντικαταστας με την gn=max{h1,...,hn} και ειναι ευκολο να δειξεις οτι τοτε gn συγλκλινει στο α και ειναι αυξουσα. Τελικα εχεις hn αυξουσα που συγκλινει στο α. Αρα α=limShn . Παιρνεις τοτε limhn=f και τοτε εχεις f ανηκει στο Η γιατι απο μονοτονη συγκλιση Sf στο Α <=ν(Α) .Επισης απο μονοτονη συγκλιση εχεις οτι Sf=α=sup{Sh: h ανηκει H} αρα f ανηκει H και Sf>=Sh για καθε h στο H.

Συγγνωμη που δεν ειναι καλα γραμμένα αλλα δε ξερω πως γράφουμε Latex.

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=cZUfNtrcBAc


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group