forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Νοέμ 2017, 09:30

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θεωρία Μέτρου Ερωτήματα περί ασκήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιαν 2017, 23:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4235
Εικόνα
Άσκηση 1.1
Λέει κάποιο ερώτημα να βρεθεί An στον Χ : limsupAn \not= liminfAN
είναι πχ

A_n = \left\{
\begin{array}{ c l }
X,   &    n = 2k  \\
\emptyset,   &    n = 2k + 1
\end{array}
\right.

και άλλο ερώτημα
να βρεθεί An ούτε αύξουσα ούτε φθίνουσα που να έχουν limsupAn = liminfAn
Μπορώ να πω ότι είναι η Αn:
A1=A, A2=B,A3= Γ, A4=A5=A6=...=Δ (δηλαδή από n=4 και πάνω είναι όλα ισα με το Δ (υποσύνολο του Χ)
όπου Α,Β,Γ υποσύνολα του Χ, με Β υποσύνολο του Α, Β υποσύνολο του Γ
άρα limsupAn = liminfAn=\Delta



1.2
Λέει να περιγράψω τις σ-άλγεβρες του Ν
Τι σημαίνει περιγραφή πχ
\{\emptyset, N\}
\{\emptyset, A, A^c,N\} με A\subset Nτυχαίο υποσύνολο
\{\emptyset, A, A^c,B,B^c,A\cup B ,A\cup B^c,A^c\cup B,A^c\cup B^c, N,(A\cup B)^c ,(A\cup B^c)^c,(A^c\cup B)^c,(A^c\cup B^c)^c\} Α και Β τυχαία υποσύνολα
κοκ
εως δυναμοσύνολο
αυτό είναι περιγραφή;;

Και τέλος στην επόμενη άσκηση λέει για τις παραγόμενες σ-άλγεβρες που παράγονται από 1) μονοσύνολα 2) αριθμήσιμα κλπ σύνολα του R
Είναι τελικά το \mathbb{B}(R) για όλα αυτά και βγαίνει παρόμοια με την άσκηση με τα \sigma(D_1) κλπ;;;
Aυτά για τώρα, θα γράψω μετά και τίποτα που χω βρει και είμαι σίγουρος για ανταλαγή

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρία Μέτρου Ερωτήματα περί ασκήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2017, 19:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Σεπ 2007, 17:31
Δημοσ.: 4235
1.4 Αν Α1,Α2,... αύξουσες άλγεβρες νδο η \cup_{i=}^\infty A_i είναι άλγεβρα
ιι)Ισχύει όμοια σχέση για σ-άλγεβρες;
-Το Χ ανήκει στην \cup_{i=}^\infty A_i, αφού ανήκει σε κάθε Αι
-Αν Β ανήκει στην άπειρη ένωση \cup_{i=1}^\infty A_i , έχουμε ότι από ένα i=n0 και έπειτα το Β θα ανήκει σε όλα τα Ai (αφού είναι και αύξουσες)άρα και το B^c θα ανήκει σε όλα εκείνα τα Ai, έτσι θα ανήκει και στο \cup_{i=1}^\infty A_i

-Αν τα Β1,..ΒN στο \cup_{i=0}^\infty A_i έχουμε ότι από ένα i=n1 και έπειτα τα Β1,...,ΒN θα ανήκoυν σε όλα τα Ai (αφού είναι και αύξουσες) άρα και τα \cap_{n=1}^{N} B_i \in A_{n1} και σε όλα τα επόμενα Αi άρα και στην ενωσή τους \cup_{i=n1}^\infty A_i, και τελικά και στο \cup_{i=1}^\infty A_i

ii) Αντιπαράδειγμα
Χ=N
το Α1 φτιάχνεται από το {1}
το Α2 από το {1,2}
...
και το Αν από το {1,...,ν}
τότε το \cup_{i=1}^\infty A_i περιέχει τα Bn={2n}
αλλά η άπειρη ένωση τους που θα πρεπε να περιέχεται για να ναι σ-άλγεβρα, δεν ανήκει σε κανένα από τα Αi, άρα δεν υπάρχει μέσα στο \cup_{i=1}^\infty A_i

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=wbZuBDJVHEI


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: .
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιαν 2017, 12:08 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 08 Οκτ 2014, 19:22
Δημοσ.: 50
.


Τελευταία επεξεργασία απο math trip την 05 Απρ 2017, 09:48, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεωρία Μέτρου Ερωτήματα περί ασκήσεων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Φεβ 2017, 13:50 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 09 Φεβ 2016, 17:35
Δημοσ.: 24
Για την 2, γνωριζουμε οτι υπαρχει B Fσ συνολο και C μετρου μηδεν ωστε για καθε E μετρησιμο Ε=ΒUC . Εφαρμοζουμε αυτο για Ε=συμπληρωμα του Α συνεπως $R - A$ =BUC συνεπως παιρνοντας συμπληρωμα σε αυτη τη σχεση εχουμε Α=G-C με G = το συμπληρωμα του Fσ αρα ειναι Gδ

Για την 3 , γνωριζουμε οτι f ' = lim f(x+h)-f(x)/h =lim n(f(x+1/n)-f(x)) ομως η n(f(x+1/n)-f(x))=fn(χ) ακολουθια συνεχων συναρτησεων , συνεπως και Borel μετρησιμων αφου καθε συνεχης ειναι Borel μετρησιμη . Συνεπως και το οριο ειναι Borel μετρησιμη.

Για την 4 , θεωρεις αυξουσα ακολουθια hn στο συνολο ωστε hn να συγλινει στο sup{Sh: h ανηκει H}=α το οποιο ειναι πεπερασμενο αφου ν πεπερασμενο αρα sup{Sh: h ανηκει H }<=ν(Χ)<00 .Μπορει να επιλεγει αυξουσα γιατι μπορεις να δειξεις οτι η συναρτηση h=max{h1,h2} ανηκει στο H, αν h1,h2 ανηκουν H).Αυτο ισχυει καθως εχεις ολοκληρωμα στο Α της h =ολοκληρωμα της h πανω στο ΑτομηF +ολοκληρωμα της h πανω στο Α-F , με F={h1>h2}
αρα αφου h1,h2 ανηκουν H εχεις οτι Sh<=ν(ΑτομηF)+ν(Α-F)=ν(Α) συνεπως h anhkei H. Opote αν εχεις hn που συγλκινει στο α την αντικαταστας με την gn=max{h1,...,hn} και ειναι ευκολο να δειξεις οτι τοτε gn συγλκλινει στο α και ειναι αυξουσα. Τελικα εχεις hn αυξουσα που συγκλινει στο α. Αρα α=limShn . Παιρνεις τοτε limhn=f και τοτε εχεις f ανηκει στο Η γιατι απο μονοτονη συγκλιση Sf στο Α <=ν(Α) .Επισης απο μονοτονη συγκλιση εχεις οτι Sf=α=sup{Sh: h ανηκει H} αρα f ανηκει H και Sf>=Sh για καθε h στο H.

Συγγνωμη που δεν ειναι καλα γραμμένα αλλα δε ξερω πως γράφουμε Latex.

_________________
https://www.youtube.com/watch?v=cZUfNtrcBAc


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group