forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2017, 06:25

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ρητή συνάρτηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Οκτ 2016, 11:57 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 33
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{x\mapsto \ln\,x\,,x>0} δεν είναι ρητή.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ρητή συνάρτηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Οκτ 2016, 12:58 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Δεκ 2014, 19:45
Δημοσ.: 49
Η x \mapsto \log(x) για x>0 δεν μπορεί σίγουρα να είναι πολυώνυμο!

Αν ήταν, ας πούμε ότι είχε την μορφή \log(x) = a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0, τότε από την ιδιότητα του λογαρίθμου \log(x^{2}) = 2\log(x) θα είχαμε

a_n x^{2n}+a_{n-1}x^{2n-2}+\cdots + a_0 = 2a_n x^n+2a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+2a_0

που θα σήμαινε ότι \log(x) = 0 για κάθε x>0, πράγμα αδύνατο. Άρα, ο λογάριθμος δεν είναι πολυώνυμο.

_________________
"Problems worthy of attack prove their worth by fighting back" -Paul Erdős


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ρητή συνάρτηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Οκτ 2016, 15:32 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 33
Βασίλη, ωραίο αυτό που έγραψες.

Μπορούσαμε και ως εξής :

Αν \displaystyle{\ln\,x=f(x)\,,x>0} , όπου \displaystyle{f} είναι πολυωνυμική συνάρτηση

με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο της μονάδας, τότε με

παραγώγους παίρνουμε \displaystyle{\dfrac{1}{x}=f^\prime(x)\,,x>0\iff x\,f^\prime(x)=1\,,x>0} και

συγκρίνοντας βαθμούς, καταλήγουμε σε άτοπο.

Παραμένει ωστόσο το αρχικό ερώτημα : Υπάρχουν πολυωνυμικές συναρτήσεις \displaystyle{f\,,g} με \displaystyle{g\neq 0}

παντού, έτσι ώστε \displaystyle{\ln\,x=\dfrac{f(x)}{g(x)}\,,x>0} ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ρητή συνάρτηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Οκτ 2016, 21:23 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 419
Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά στο άπειρο: έστω ότι \ln x=\frac{f(x)}{g(x)}, όπου τα f, g είναι πολυώνυμα. Αν {\rm deg}(f)\leq {\rm deg}(g), τότε το όριο \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} είναι πεπερασμένο, το οποίο είναι άτοπο. Επομένως {\rm deg}(f)\geq {\rm deg}(g)+1. Αν {\rm deg}(f)> {\rm deg}(g)+1, τότε \lim_{x\to\infty}\left|\frac{\ln x}{x}\right|=\lim_{x\to \infty}\left|\frac{f(x)}{xg(x)}\right|=\infty, το οποίο είναι άτοπο. Αν τώρα {\rm deg}(f)={\rm deg}(g)+1, τότε το όριο \lim_{x\to \infty}\left|\frac{f(x)}{xg(x)}\right| είναι πεπερασμένο και μη μηδενικό, το οποίο είναι ξανά άτοπο.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group