forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2017, 06:31

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Απρ 2016, 13:38 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 33
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}} από τη σχέση

\displaystyle{f(x)=e^x+x+1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}} .

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα

\displaystyle{I=\int_{0}^{1}\dfrac{x^3}{f(x)}\,\mathrm{d}x} .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Απρ 2016, 15:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
f(x)=e^{x}+1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}=\frac{6e^{x}+6+6x+3x^{2}+x^{3}}{6}=\frac{g(x)}{6}

οπότε

I=6\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{g(x)}dx=6\int_{0}^{1}(1-\frac{g'(x)}{g(x)})dx=6[x-\ln(g(x))]


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Απρ 2016, 12:01 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 33
Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.

Γράφω και εγώ τη δική μου λύση (σχεδόν ίδια)

Η \displaystyle{f} είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο \displaystyle{\mathbb{R}} με

\displaystyle{f^\prime(x)=e^x+x+1+\dfrac{x^2}{2}\,,x\in\mathbb{R}} .

Επίσης, \displaystyle{f(x)>0\,,\forall\,x\in\left[0,1\right]} και έχουμε ότι

\displaystyle{\begin{aligned} J&=\int_{0}^{1}\dfrac{x^2}{f(x)}\,\mathrm{d}x\\&=\int_{0}^{1}\dfrac{2\,f^\prime(x)-2\,(e^x+x+1)}{f(x)}\,\mathrm{d}x\\&=2\,\left[\ln\,f(x)\right]_{0}^{1}-2\,\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}+x+1}{f(x)}\,\mathrm{d}x\\&=2\,\left[\ln\,f(x)\right]_{0}^{1}-2\,\int_{0}^{1}\dfrac{f(x)-(x^2/2)-(x^3/6)}{f(x)}\,\mathrm{d}x\\&=2\,\left[\ln\,f(x)\right]_{0}^{1}-2+J+\dfrac{1}{3}\,\int_{0}^{1}\dfrac{x^3}{f(x)}\,\mathrm{d}x\end{aligned}}

οπότε

\displaystyle{\dfrac{1}{3}\,\int_{0}^{1}\dfrac{x^3}{f(x)}\,\mathrm{d}x=2-2\,\left[\ln\,f(x)\right]_{0}^{1}}

ή

\displaystyle{\int_{0}^{1}\dfrac{x^3}{f(x)}\,\mathrm{d}x=6\,\left(1+\ln\,\dfrac{f(0)}{f(1)}\right)=6\,\left(1+\ln\,\dfrac{6}{3\,e+8}\right)}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group