forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Σεπ 2017, 18:40

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ερωτηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2016, 23:29 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 09 Σεπ 2014, 09:17
Δημοσ.: 54
Εστω ο διανυσματικος χωρος των συνεχων συναρτησεων f:{\mathbb R}\to {\mathbb R} .
Ποιο απο τα παρακατω συνολα ειναι υποχωρος του παραπανω χωρου?
1) \{f : ειναι δυο φορες παραγωγισιμη καιf^\prime^\prime(x)-2*f'(x)+3*f(x)=0 για ολα τα x\in{\mathbb R}\}
2) \{g : ειναι δυο φορες παραγωγισιμη και g^\prime^\prime(x)=g'(x) για ολα τα x\in{\mathbb R}\}
3)\{h : ειναι δυο φορες παραγωγισιμη και h^\prime^\prime(x)=h(x)+1 για ολα τα x\in{\mathbb R}\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερωτηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Μαρ 2016, 10:53 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
Καλημέρα.



Έστω \displaystyle{W_1} το πρώτο υποσύνολο.

Αντίστοιχα, με \displaystyle{W_2\,,W_3} θα συμβολίσω τα άλλα 2.

Προφανώς, \displaystyle{\mathbb{O}\in W_1} .

Ας είναι τώρα \displaystyle{f\,,g\in W_1} και \displaystyle{c\in\mathbb{R}} . Τότε, η συνάρτηση

\displaystyle{h=f+c\,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}} είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει

\displaystyle{h^{\prime \prime}(x)-2\,h^\prime(x)+3\,h(x)=}

\displaystyle{=\left(f^{\prime \prime}(x)-2\,f^\prime(x)+3\,f(x)\right)+c\,\left(g^{\prime \prime}(x)-3\,g^\prime(x)+3\,g(x)\right)=0\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}

διότι \displaystyle{f\,,g\in W_1} .

Άρα το \displaystyle{W_1} είναι \displaystyle{\mathbb{R}} - υπόχωρος.

Μπορούσες να το δεις και αλλιώς : Επιλύεις τη διαφορική εξίσωση μέσω χαρακτηριστικού πολυωνύμου, γνωρίζεις τα

στοιχεία του συνόλου αυτού και μετά κάνει επαλήθευση. Θα κάνω το \displaystyle{W_2} έτσι.

Προφανώς, \displaystyle{\mathbb{O}\in W_2} . Αν \displaystyle{g\in W_2} , τότε,

\displaystyle{\forall\,x\in\mathbb{R}, g^{\prime \prime}(x)=g^\prime(x)\implies (\exists\,c\in\mathbb{R})\,(\forall\,x\in\mathbb{R}), g^\prime(x)=c\,e^{x}} .

Συνεπώς, \displaystyle{g(x)=c\,e^{x}+c'\,,\forall\,x\in\mathbb{R} , όπου \displaystyle{c\,,c'}

πραγματικές σταθερές. Αντίστροφα, κάθε τέτοια συνάρτηση ανήκει στο \displaystyle{W_2} .

Παρατήρησε ότι αν \displaystyle{g_1(x)=c_1\,e^{x}+c_1'\,\,,g_2(x)=c_2\,e^{x}+c_2'\,,x\in\mathbb{R}}

και \displaystyle{a\in\mathbb{R}} , τότε

\displaystyle{g_1(x)+a\,g_2(x)=(c_1+a\,c_2)\,e^{x}+(c_1'+a\,c_2')\implies g_1+a\,g_2\in W_2} .

'Αρα ο \displaystyle{W_2} είναι όντως υπόχωρος.

Σχόλιο

Παρατήρησε επίσης ότι κάθε συνάρτηση του \displaystyle{W_2} είναι γραμμικός συνδυασμός της εκθετικής

και της σταθερής συνάρτησης 1, άρα \displaystyle{W_2=\langle{\rm{exp},1\rangle}} .

Μάλιστα, αυτές οι δύο είναι και γραμμικώς ανεξάρτητες . Πράγματι, αν \displaystyle{a\,,b\in\mathbb{R}}

με \displaystyle{a\,e^{x}+b=0\,,\forall\,x\in\mathbb{R}} , τότε για \displaystyle{x=0}

παίρνουμε \displaystyle{a+b=0} και για \displaystyle{x=1} έχουμε, \displaystyle{a\,e+b=0} .

Επομένως, \displaystyle{a\,e-a=0\iff a(e-1)=0\iff a=0\implies b=0 , όπως θέλαμε. Τότε,

\displaystyle{\dim_{\mathbb{R}}W_2=2\implies W_2\cong \mathbb{R}^2} .

Κάνε το ίδιο για το W_1 .

Τέλος, το \displaystyle{W_3} δεν είναι υπόχωρος διότι δεν περιέχει τη μηδενική συνάρτηση.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερωτηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Μαρ 2016, 12:59 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 09 Σεπ 2014, 09:17
Δημοσ.: 54
Σε ευχαριστω πολυ για την απαντηση σου.Πολυ κατατοπιστικη!
Εψαχνα να βρω εναν γρηγορο τροπο επιλυσης αυτου του προβληματος και νομιζω οτι ο πιο γρηγορος ειναι απλα να ελεγξεις την κλειστοτητα των πραξεων:της προσθεσης και του βαθμωτου πολ/μου.(και οτι περιεχεται μεσα το 0 φυσικα,το ειχα ξεχασει αυτο).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group