forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Σεπ 2017, 09:37

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Φραγμένος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μαρ 2016, 11:08 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
Ας είναι \displaystyle{\left(X,||\cdot||\right)} ένας χώρος \displaystyle{\rm{Banach}} και

\displaystyle{Y\,,Z} δύο κλειστοί υπόχωροι αυτού, τέτοιοι, ώστε \displaystyle{Y\cap Z=\left\{0\right\}}

και ο \displaystyle{Y+Z} είναι επίσης κλειστός υπόχωρος. Αποδείξτε ότι υπάρχει \displaystyle{C>0}

ώστε \displaystyle{||y||\leq C\,||y+z||\,,\forall\,y\in Y\,,\forall\,z\in Z} .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Φραγμένος
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μαρ 2016, 21:29 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 16 Ιούλ 2012, 17:35
Δημοσ.: 43
Θεωρούμε τον τελεστή T:Y+Z\rightarrow Y, με T(y+z)=y, για κάθε y\epsilon Y,z\epsilon Z. Ο T είναι καλά ορισμένος, λόγω της σχέσης Y\cap Z=\left \{ 0 \right \}, γραμμικός, επί και μεταξύ χώρων Banach, αφού εξ υποθέσεως οι Y+Z,Y είναι κλειστοί υπόχωροι του χώρου Banach X. Εύκολα φαίνεται ότι το γράφημα του T, το G_T=\left \{ (y+z,y):y\epsilon Y,z\epsilon Z \right \}, είναι κλειστό υποσύνολο του (Y+Z)\times Y. Το ζητούμενο έπεται άμεσα από το θεώρημα κλειστού γραφήματος, αφού τότε ο T είναι φραγμένος και συνεπώς \left \| T(y+z) \right \|=\left \| y \right \|\leqslant \left \| T \right \| \left \| y+z \right \|, για κάθε y\epsilon Y,z\epsilon Z. Δηλαδή, C=\left \| T \right \|.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group