forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Σεπ 2017, 18:39

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Με τελεστές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Μαρ 2016, 11:32 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
Ας είναι \displaystyle{\left(X,||\cdot||\right)} ένας χώρος με νόρμα και \displaystyle{T\,,S\in \mathbb{B}(X)}

τέτοιοι, ώστε \displaystyle{T^2=T\,,S^2=S\,,T\circ S=S\circ T}. Αποδείξτε ότι είτε \displaystyle{T=S}

ή \displaystyle{||T-S||\geq 1}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Με τελεστές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Μαρ 2016, 23:16 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 27 Ιουν 2006, 20:59
Δημοσ.: 705
Αν T\ne S υπάρχει x ώστε Tx=0\ne Sx. Έστω y=Sx,τότε Ty=TSx=STx=0 και Sy=S^2x=Sx=y, άρα \|Ty-Sy\|=\|Sy\|=\|y\|, επομένως \|T-S\|\ge 1.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Με τελεστές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Μαρ 2016, 12:37 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.

Έχω μια απορία : Πώς επιλέξατε \displaystyle{x\in \rm{Ker}(T)-\rm{Ker}(S)} ;


Ορίστε και άλλη μια λύση που είδα.

Επειδή, \displaystyle{S\circ T=T\circ S}, έχουμε ότι

\displaystyle{\left(S-T\right)^3=\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}S^k\,(-T)^{3-k}=-T^3+3\,S\,T^2-3\,S^2\,T+S^3}

και εφ'όσον \displaystyle{S^2=S\,,T^2=T} παίρνουμε \displaystyle{\left(S-T)^3=S^3-T^3=S-T}

(αφού \displaystyle{S^3=S^2\circ S=S\circ S=S^2=S} (όμοια για τον Τ)) .

Συνεπώς,

\displaystyle{||S-T||=||(S-T)^3||\leq ||S-T||^3} και από εδώ προκύπτει το ζητούμενο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Με τελεστές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Μαρ 2016, 21:45 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Δεν είναι απαραίτητο ότι υπάρχει τέτοιο x (πχ. οι x,2x από τους πραγματικούς στον εαυτό τους είναι δύο διαφορετικοί γραμμικοί τελεστές με ίδιο πυρήνα), αλλά το μόνο που χρησιμοποιεί ουσιαστικά η λύση είναι ότι υπάρχει x\in Ker(T-S), το οποίο υπάρχει τετριμμένα αν T \neq S, και μετά η λύση του κου. Κατάβολου δουλεύει κανονικά, και είναι η πιο φυσιολογική.

Πολύ ωραία η άλλη λύση, αλλά πολύ "αεροπλανική" :?

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Με τελεστές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Μαρ 2016, 10:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 27 Ιουν 2006, 20:59
Δημοσ.: 705
captainjp έγραψε:
Δεν είναι απαραίτητο ότι υπάρχει τέτοιο x (πχ. οι x,2x από τους πραγματικούς στον εαυτό τους είναι δύο διαφορετικοί γραμμικοί τελεστές με ίδιο πυρήνα), αλλά το μόνο που χρησιμοποιεί ουσιαστικά η λύση είναι ότι υπάρχει x\in Ker(T-S), το οποίο υπάρχει τετριμμένα αν T \neq S, και μετά η λύση του κου. Κατάβολου δουλεύει κανονικά, και είναι η πιο φυσιολογική.

Πολύ ωραία η άλλη λύση, αλλά πολύ "αεροπλανική" :?


Ο x\to 2x δεν είναι ταυτοδύναμος.

Νομίζω ότι αυτό που έγραψα ισχύει, εντελώς αλγεβρικά. Πράγματι, αν \ker T=\ker S τότε για κάθε x έχω x-Sx\in\ker T (αφού Sx=S^2x) άρα T(x-Sx)=0 δηλαδή Tx=TSx και για τον ίδιο λόγο x-Tx\in\ker S άρα S(x-Tx)=0 δηλαδή Sx=STx. Όμως ST=TS άρα τελικά Sx=STx=TSx=Tx. Επομένως, αφού T\neq S υπάρχει x ώστε x\in \ker T\setminus\ker S ή υπάρχει x ώστε x\in \ker S\setminus\ker T. Χωρίς βλάβη της γενικότητας διάλεξα το πρώτο.

Στην πραγματικότητα η λύση που σκέφτηκα είναι γεωμετρική (αν και την αιτιολόγησα αλγεβρικά). Η άλλη, η "αεροπλανική" είναι αλγεβρική, και πολύ ωραία!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Με τελεστές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Μαρ 2016, 21:26 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Μαρ 2016, 14:08
Δημοσ.: 32
Τώρα είναι κατανοητό. Ευχαριστώ για την επεξήγηση.

Μπορούμε να κάνουμε την ίδια δουλειά με περιττές δυνάμεις του \displaystyle{S-T} . Πιο συγκεκριμμένα,

για \displaystyle{n=2\,k+1\,,k\in\mathbb{N}} έχουμε

\displaystyle{(S-T)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}S^{i}\,(-T)^{n-i}=S-T}

λόγω των σχέσεων \displaystyle{S^2=S\,,T^2=T\,,S\circ T=T\circ S}. Έτσι,

\displaystyle{||S-T||=||(S-T)^n||\leq ||S-T||^{n}} .

Αν λοιπόν, \displaystyle{||S-T||<1} , τότε η παραπάνω σχέση με όρια καθώς \displaystyle{k\to \infty}

δίνει \displaystyle{||S-T||\leq 0\implies S=T} .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group