forum.math.uoa.gr
http://forum.math.uoa.gr/

βοήθεια σε πρόβλημα ΔΕ
http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=37&t=17797
Σελίδα 1 από 1

Συγγραφέας:  Sirius [ 26 Νοέμ 2015, 19:11 ]
Θέμα δημοσίευσης:  βοήθεια σε πρόβλημα ΔΕ

Η διατύπωση είναι η εξής: Στον ωκεανό βρίσκεται ένα πλοίο το οποίο ονομάζουμε πλοίο 1. Την στιγμή t=0 ανιχνεύει ένα δεύτερο πλοίο, το πλοίο 2, σε απόσταση r, το οποίο κινείται και θα κινείται με σταθερή ταχύτητα (σταθερό διάνυσμα) το μέτρο της οποίας είναι β>0. Από αυτή τη στιγμή το πλοίο 1 καταδιώκει το πλοίο 2 κινούμενο με ταχύτητα μέτρου α>β, και κατεύθυνση ταχύτητας από το πλοίο 1 προς το 2 (πηγαίνει ίσια καταπάνω του αντί να κόψει δρόμο και να του βγει από μπροστά). Το ερώτημα είναι πότε θα συναντηθούν τα δύο πλοία?

Η προσέγγισή μου ήταν να θεωρήσω σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων που να έχουν αρχή το πλοίο 2. Οπότε αν v_2 διάνυσμα ταχύτητας του πλοίου 2, τότε 0 < \beta = |v_2| < \alpha και η κίνηση του πλοίου 1 σε αυτό το σύστημα θα θα περιγράφεται απο μια καμπύλη \gamma : \mathbb R \rightarrow {\mathbb R}^2, και αρκεί να βρώ πότε είναι \gamma (t)=0. Η ταχύτητα της καμπύλης αυτής είναι άθροισμα δύο διανυσμάτων, το ένα είναι το -v_2 και το άλλο είναι στην κατεύθυνση από το \gamma (t) στο 0 με μέτρο α, άρα \gamma &#39;(t) = -\frac{\alpha \gamma (t)}{|\gamma (t)|} -v_2. Από αυτό προκύπτει ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων: v_2=(b_1, b_2) και \gamma (t)=(x(t), y(t)), τότε \left\{ \begin{array}{l} x&#39;(t)=-\frac{\alpha x(t)}{\sqrt{{x(t)}^2 + {y(t)}^2}}-b_1 \\ y&#39;(t)=-\frac{\alpha y(t)}{\sqrt{{x(t)}^2 + {y(t)}^2}}-b_2
Και επειδή εγώ είμαι άχρηστος με τις διαφορικές εξισώσεις :oops: ζητάω από εσάς να μου δείξετε πώς τις λύνουμε :mrgreen:. Εκτός αν η προσέγγισή μου είναι κακή, αφού ακόμη και αν το είχα λυμένο μετά θα έπρεπε να λύσω το σύστημα \gamma (t)=0 :( , και ίσως υπάρχει άλλη προσέγγιση που μας κάνει τη ζωή εύκολη.

Σελίδα 1 από 1 Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/