forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Νοέμ 2017, 23:08

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 1 δημοσίευση ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: βοήθεια σε πρόβλημα ΔΕ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Νοέμ 2015, 19:11 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 15 Νοέμ 2012, 22:39
Δημοσ.: 21
Η διατύπωση είναι η εξής: Στον ωκεανό βρίσκεται ένα πλοίο το οποίο ονομάζουμε πλοίο 1. Την στιγμή t=0 ανιχνεύει ένα δεύτερο πλοίο, το πλοίο 2, σε απόσταση r, το οποίο κινείται και θα κινείται με σταθερή ταχύτητα (σταθερό διάνυσμα) το μέτρο της οποίας είναι β>0. Από αυτή τη στιγμή το πλοίο 1 καταδιώκει το πλοίο 2 κινούμενο με ταχύτητα μέτρου α>β, και κατεύθυνση ταχύτητας από το πλοίο 1 προς το 2 (πηγαίνει ίσια καταπάνω του αντί να κόψει δρόμο και να του βγει από μπροστά). Το ερώτημα είναι πότε θα συναντηθούν τα δύο πλοία?

Η προσέγγισή μου ήταν να θεωρήσω σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων που να έχουν αρχή το πλοίο 2. Οπότε αν v_2 διάνυσμα ταχύτητας του πλοίου 2, τότε 0 < \beta = |v_2| < \alpha και η κίνηση του πλοίου 1 σε αυτό το σύστημα θα θα περιγράφεται απο μια καμπύλη \gamma : \mathbb R \rightarrow {\mathbb R}^2, και αρκεί να βρώ πότε είναι \gamma (t)=0. Η ταχύτητα της καμπύλης αυτής είναι άθροισμα δύο διανυσμάτων, το ένα είναι το -v_2 και το άλλο είναι στην κατεύθυνση από το \gamma (t) στο 0 με μέτρο α, άρα \gamma &#39;(t) = -\frac{\alpha \gamma (t)}{|\gamma (t)|} -v_2. Από αυτό προκύπτει ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων: v_2=(b_1, b_2) και \gamma (t)=(x(t), y(t)), τότε \left\{ \begin{array}{l} x&#39;(t)=-\frac{\alpha x(t)}{\sqrt{{x(t)}^2 + {y(t)}^2}}-b_1 \\ y&#39;(t)=-\frac{\alpha y(t)}{\sqrt{{x(t)}^2 + {y(t)}^2}}-b_2
Και επειδή εγώ είμαι άχρηστος με τις διαφορικές εξισώσεις :oops: ζητάω από εσάς να μου δείξετε πώς τις λύνουμε :mrgreen:. Εκτός αν η προσέγγισή μου είναι κακή, αφού ακόμη και αν το είχα λυμένο μετά θα έπρεπε να λύσω το σύστημα \gamma (t)=0 :( , και ίσως υπάρχει άλλη προσέγγιση που μας κάνει τη ζωή εύκολη.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 1 δημοσίευση ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group