forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Νοέμ 2017, 18:09

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση πραγματικής
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2015, 12:01 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφή: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Έστω C[a,b] ο μετρικός χώρος των συνεχών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [a,b], με τη supremum νόρμα. Έστω, για κάθε φυσικό K, M_K το σύνολο των συναρτήσεων στον χώρο αυτόν που είναι Lipschitz συνεχείς με παράμετρο K. Έστω επίσης D_K το σύνολο των συναρτήσεων που είναι παραγωγίσιμες και η παράγωγος τους είναι φραγμένη από K σε όλο το [a,b].

Να δείξετε ότι:

α) To M_K είναι κλειστό σύνολο, και μάλιστα είναι η κλειστότητα του D_K.
β) Το σύνολο M=\bigcup_{K\in \mathbb{N}} M_K δεν είναι κλειστό (οπότε έχουμε και άλλο ένα παράδειγμα αριθμήσιμης ένωσης κλειστών που δεν είναι κλειστό).
γ) Το M είναι πυκνό στον C[a,b].

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση πραγματικής
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2015, 18:29 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 17 Ιούλ 2014, 12:59
Δημοσ.: 39
captainjp έγραψε:
Έστω C[a,b] ο μετρικός χώρος των συνεχών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [a,b], με τη supremum νόρμα. Έστω, για κάθε φυσικό K, M_K το σύνολο των συναρτήσεων στον χώρο αυτόν που είναι Lipschitz συνεχείς με παράμετρο K. Έστω επίσης D_K το σύνολο των συναρτήσεων που είναι παραγωγίσιμες και η παράγωγος τους είναι φραγμένη από K σε όλο το [a,b].

Να δείξετε ότι:

α) To M_K είναι κλειστό σύνολο, και μάλιστα είναι η κλειστότητα του D_K.
β) Το σύνολο M=\bigcup_{K\in \mathbb{N}} M_K δεν είναι κλειστό (οπότε έχουμε και άλλο ένα παράδειγμα αριθμήσιμης ένωσης κλειστών που δεν είναι κλειστό).
γ) Το M είναι πυκνό στον C[a,b].


Γενική υπόδειξη:
α) Πρώτα από όλα το ΘΜΤ δείχνει ότι D_K\subseteq M_K. Μετά αρκεί να δειχθεί ότι M_K κλειστό και ότι D_K πυκνό σε αυτό, που θα πρέπει να έπονται λόγω ομοιόμορφής συνέχειας.
β) Το γ) συνεπάγεται το β) διότι αν το M ήταν κλειστό και πυκνό υποσύνολό του C[a,b] θα είχαμε M=\overline M=C[a,b] δηλαδή κάθε συνεχής συνάρτηση στο [a,b] είναι και Lipschitz, που είναι λάθος, πχ οι ιδιάζουσες συναρτήσεις τύπου Cantor.
γ) Αρκεί να δειχθεί πως \forall f \in C[a,b] υπάρχει ακολουθία f_n συναρτήσεων Lipschitz με συντελεστές Lipschitz a_n\le \mathbb{L}(f_n)\le b_n όπου a_n,b_n γνησίως αύξουσες ακολουθίες με \lim_{n \to \infty} a_n,b_n \to \infty. Ο συντελεστής Lipschitz μιας συνάρτησης f, \mathbb{L}(f) είναι το infimum των σταθερών συντελεστών K>0 ως προς τους οποίους η f είναι Lipschitz.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group