forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Σεπ 2017, 18:19

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Γινόμενο σειρών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Νοέμ 2015, 21:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Ιούλ 2009, 16:11
Δημοσ.: 230
Γεια, αν έχει όρεξη κανείς ας μ πει αν έχω κάνει κάποια χοντράδα στις πράξεις :

Έχω τη συνάρτηση h(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{cos(nx)}{\sqrt n}, και θέλω να βρώ το τετράγωνό της.
Αυτό που έκανα είναι: {h(x)}^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{cos(nx)}{\sqrt n}\cdot\sum_{m=1}^\infty\frac{cos(mx)}{\sqrt m}=\sum_{n=1}^\infty\frac{cos^2(nx)}{n}, γιατί για n\neq m οι παράγοντες που έχουν cos(nx)cos(mx) μηδενίζουν. Καλά τα λέω η τα μπέρδεψα?

Απώτερος σκοπός είναι να εξετάσω αν η σειρά που προκύπτει αποκλίνει ή όχι.

_________________
Strange Weather


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γινόμενο σειρών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Νοέμ 2015, 23:56 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Η σειρά h^2 (x) μπορείς να δεις αν συγκλίνει, αν συγκλίνει η h(x) .Η σχέση \cos(mx) \cdot \cos(nx) = 0 συμβαίνει μόνο όταν ολοκληρώσεις από 0 έως 2π την ποσότητα και n\neq mh(x) όμως γράφεται ως εξής \sum_n \frac{\cos(nx)}{\sqrt {n} } = =\sum_n \frac{\cos(nx)\sin x/2}{\sqrt {n} \sin x/2 } = =\sum_n \frac{\sin (n+1/2)x - \sin (n-1/2)x}{2\sqrt {n} \sin x/2 } = \sum_n a_n \cdot b_n όπου a_n = \sin (n+1/2)x - \sin (n-1/2) και b_n = \frac {1}{2\sin x/2 \sqrt {n}} όπου τα μερικά αθροίσματα της a_n είναι φραγμένα (τηλεσκοπική) και η b_n είναι φθίνουσα. Οπότε έχεις ότι η σειρά συγκλίνει.(αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος σε υπολογισμούς η θεωρία..).
Οπότε η σειρά συγκλίνει.

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γινόμενο σειρών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2015, 00:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Ιούλ 2009, 16:11
Δημοσ.: 230
πωπω χίλια συγγνώμη η αυπνια φταίει. Τα έγραψα πολύ ανακατεμένα.
Θέλω να δείξω ότι η h ανήκει στον L^2 δηλαδή ότι (\int|h|^2)^{\frac{1}{2}}d\mu<\infty.
Μετά λέω ότι το ίδιο είναι (\int|h^2|)^{\frac{1}{2}}d\mu<\infty και για αυτό πολλαπλασιάζω τις σειρές.
Δηλαδή υπάρχει και το ολοκληρώμα που λες, είναι απ'έξω. (Το έχω πάρει με το έτσι θέλω στο [0,\pi] (πρέπει να τα σκευτώ αυτα...) Και θέλω να δω αν συγκλίνει η αποκλίνει .

Σε ευχαριστώ πάρα πολύ για τη λύση εν πάσει περιπτώσει. :oops: :oops: :oops:

_________________
Strange Weather


Τελευταία επεξεργασία απο zena την 24 Νοέμ 2015, 00:41, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γινόμενο σειρών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2015, 00:34 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Αν εξαιρέσεις διάφορα διαφορικά ως προς το μέτρο Lebesgue που έχεις ξεχάσει σωστά είναι :har:

Ναι πάντως, αυτός είναι ο τρόπος που λειτουργούμε. Το τέλος της άσκησης είναι δύο πράξεις ακόμα ;)

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Γινόμενο σειρών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2015, 00:37 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Ιούλ 2009, 16:11
Δημοσ.: 230
captainjp έγραψε:
Αν εξαιρέσεις διάφορα διαφορικά ως προς το μέτρο Lebesgue που έχεις ξεχάσει σωστά είναι :har:


:P :P :P Σωστός !

Το διόρθωσα

_________________
Strange Weather


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group