forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Σεπ 2017, 09:33

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Συμπαγής Φορέας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Νοέμ 2015, 21:40 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Ιούλ 2009, 16:11
Δημοσ.: 230
Καλησπέρα, διάβασα λίγο συναρτησιακή και τελεστές και ένα πράγμα που είδα είναι ο χώρος των συναρτήσεων με συμπαγή φορέα.
Είδα πχ ότι η κλειστή θήκη του συνόλου των συνεχών συναρτήσεων που στο άπειρο μηδενίζουν είναι ακριβώς οι συναρτήσεις με συμπαγή φορέα.
Τι μπορούμε να κάνουμε όταν έχουμε συμπαγή φορέα? (Δηλαδή γιατί είναι καλή ιδιότητα?)
Είδα και αυτό:
apgiannop έγραψε:
(Συμβουλών συνέχεια)


(β) Αν θέλετε να δείξετε κάτι για μια μετρήσιμη συνάρτηση, προσπαθήστε πρώτα να το δείξετε για συνεχείς συναρτήσεις, φραγμένες συναρτήσεις, συναρτήσεις με συμπαγή φορέα, ολοκληρώσιμες συναρτήσεις κλπ.

και το θυμήθηκα.

Επίσης αν έχετε κανά βιβλίο να προτείνετε να διαφωτιστώ, καλοδεχούμενο.

_________________
Strange Weather


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Συμπαγής Φορέας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Νοέμ 2015, 10:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 27 Ιουν 2006, 20:59
Δημοσ.: 705
Οι συνεχείς συναρτήσεις με συμπαγή φορέα είναι (α) ομοιόμορφα συνεχείς και (β) ολοκληρώσιμες, μάλιστα κατά Riemman, ή ως προς οποιοδήποτε (κανονικό) μέτρο Borel (αν είμαστε σε μετρικό χώρο ή σε τοπικά συμπαγή T_2).

Επίσης είναι πυκνές σε πολλούς απ' τους συνηθισμένους χώρους της Ανάλυσης, όπως στον C_0(R) (=συνεχείς που μηδενίζονται στο άπειρο, δηλ. μπορείς να τις κάνεις όσο μικρές θέλεις έξω από κατάλληλο συμπαγές) στον L^p για 1\le p<\infty(όχι όμως στον L^\infty. Μάλιστα είναι "καλύτερες" από πυκνές, περιέχουν αυτό που λέγεται "προσεγγιστικές μονάδες" όταν είμαστε πχ. στον R^n (εδώ δουλεύει η ομοιόμορφη συνέχεια).

Τι άλλο να επιθυμήσουμε; Αν θέλεις να κάνεις γεωμετρία ή διαφορικές εξισώσεις, τότε προτιμάμε αυτές που επι πλέον είναι και απεριόριστα παραγωγίσιμες (τώρα είμαστε στον R^n ή σε μια πολλαπλότητα), οι οποίες έχουν κι αυτές τις προηγούμενες ιδιότητες.

Σε όλα τα κλασσικά βιβλία της Ανάλυσης υπάρχουν αυτά. πχ. G. R. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd Edition,
αλλά και Κουμουλλή - Νεγρεπόντη.
Ενδιαφέροντα πράγματα υπάρχουν και στο blog του Tao https://www.google.gr/search?client=ubuntu&channel=fs&q=terence+tao+blog&ie=utf-8&oe=utf-8&gfe_rd=cr&ei=JC5QVt_QHtOz8weA-oz4CA.
Επίσης Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. Introductory real analysis. Dover Publications, Inc., New York, 1975.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Συμπαγής Φορέας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Νοέμ 2015, 17:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Ιούλ 2009, 16:11
Δημοσ.: 230
Τελικά έχουν πολύ ψωμί οι συναρτήσεις με αυτή την ιδιότητα...
Δεν είχα ασχοληθεί ιδιαίτερα,αλλά αναρωτιόμουν. Δυστυχώς στο βιβλίο μου δεν αναφέρεται τίποτα από αυτά. :cry:
Ευχαριστώ πάρα πολύ για την απάντηση ! Θα το επανεξετάσω!

_________________
Strange Weather


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Συμπαγής Φορέας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Νοέμ 2015, 22:56 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Αν και γενικά με υπερκάλυψε ο κος Κατάβολος, θα σου πω ότι ένας τρόπος να το δεις είναι ότι ίσως το όνομα "συμπαγής" είναι παραπλανητικό όταν μιλάμε για τον \mathbb{R}^n. Είναι γνωστό θεώρημα ότι συμπαγής στους \mathbb{R}^n σημαίνει κλειστός και φραγμένος. Αφού εξ'ορισμού (στον φορέα παίρνεις κλειστη θήκη) είναι κλειστός, ουσιαστικά εννοούμε "φραγμένο φορέα".

Πολλές παθογένειες των συναρτήσεων εξαφανίζονται αν περιοριστείς σε αυτές που ορίζονται σε ένα φραγμένο σύνολο (ή, όπως εδώ, αυτές που έχεις σταθεροποιήσει να είναι μηδέν εκτός αυτού). Οπότε αυτές αποτελούν "βολικά" αντικείμενα μελέτης, τα οποία όμως όπως είπε ο κος Κατάβολος είναι τόσο πυκνά που σχεδόν ότι ισχύει για αυτά, παίρνοντας κάποιο επιχείρημα προσέγγισης, θα ισχύει για όλα.

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Συμπαγής Φορέας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Νοέμ 2015, 23:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Ιούλ 2009, 16:11
Δημοσ.: 230
Ευχαριστώ ! Ναι καλά τα λες ! Στο μεταξύ είδα πιο πολύ αυτές τις καλές ιδιότητες στους χώρους L_p.

_________________
Strange Weather


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Συμπαγής Φορέας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Νοέμ 2015, 10:25 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Είναι όντως φυσικοί χώροι για να καταλάβεις την αξία αυτών των συναρτήσεων.

Επίσης σημαντικό όμως είναι να τις δεις σε πολλαπλότητες. Εκεί ουσιαστικά χάρη στις "προσεγγίσεις τις μονάδας" καταφέρνεις να κατασκευάζεις ολτο ολοκλήρωμα πάνω από διαφορικές μορφές (του οποίου υπό περιπτώσεις είναι όλα τα ολοκληρώματα των απειροστικών)

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group