forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 15 Δεκ 2017, 17:53

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Definite Integral with Limit.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Νοέμ 2015, 14:26 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 169
Evaluation of \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{0}^{1}\left(x^n+(1-x)^n\right)^{\frac{1}{n}}dx


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Definite Integral with Limit.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Νοέμ 2015, 08:54 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Ιούλ 2014, 12:59
Δημοσ.: 39
Διόρθωση για όσους είδαν 1/2. Η σωστή τιμή είναι 3/4 και εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι το κάθε είναι όριο φραγμένο και συγκεκριμμένα στο [1/2,1] μπορούμε να βρούμε πως \lim_{n\rightarrow \infty} (x^n+(1-x)^n)^{1/n}=max(x,(1-x)). Εκμεταλλευόμαστε την ομοιόμορφη συνέχεια δηλαδή (οι συναρτήσεις f_{n}(x)=(x^n+(1-x)^n)^{1/n} είναι συνεχείς και φραγμένες ολικά από το 1 στο συμπαγές διάστημα [0,1] \forall n\in \mathbb{Z^+} επομένως επιτρέπεται η αλλαγή ορίων). Άρα το ζητούμενο όριο είναι το ολοκλήρωμα \int_{0}^{1} max(x,(1-x))dx=\int_{0}^{1/2} (1-x) dx +\int_{1/2}^{1} xdx=3/8+3/8=3/4.Φυσικά κάθε συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς το 1/2 οπότε η αντικατάσταση x=1-y\Leftrightarrow y=1-x απλοποιεί κάπως τα πράγματα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Definite Integral with Limit.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Νοέμ 2015, 16:22 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Ιούλ 2014, 12:59
Δημοσ.: 39
Answer: 3/4. Rewritting this answer since I was informed that jacks would prefer an English version of the text. We define a_n=\int_{0}^{1} \sqrt[n]{x^n+(1-x)^n}dx then make the substitution \frac{x}{1-x}=y\Leftrightarrow x=\frac{y}{y+1}, dx=\frac{dy}{(y+1)^2} which gives a_n=\int_{0}^{\infty} \sqrt[n]{(\frac{y}{y+1})^n+(\frac{1}{y+1})^n} \cdot \frac{1}{(y+1)^2}dy=\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{\frac{y^n+1}{(y+1)^n}}}{(y+1)^2}dy thus a_n=\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{y^n+1}}{(y+1)^3}dy.

Therefore a_n=\int_{0}^{1} \frac{\sqrt[n]{y^n+1}}{(y+1)^3}dy +\int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{y^n+1}}{(y+1)^3}dy. Setting z=\frac{1}{y}\Leftrightarrow y=\frac{1}{z}, dy=\frac{-dz}{z^2} reworks our expression to a_n=\int_{\infty}^{1} \frac{\sqrt[n]{(1/z)^n+1}}{(\frac{1}{z}+1)^3} \cdot \frac{-dz}{z^2} +\int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{y^n+1}}{(y+1)^3}dy=\int_{1}^{\infty} \frac{zdz\sqrt[n]{(1/z)^n+1}
}{z^3 \cdot (\frac{1}{z}+1)^3} +\int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{y^n+1}}{(y+1)^3}dy=2\int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{z^n+1}}{(z+1)^3}dz.

It can now be checked that f_z(n)=\sqrt[n]{z^n+1} is strictly decreasing as a function of n\in [1,\infty],\forall z\in [1,\infty]. So we conclude that \liminf_{n \to \infty} a_n\ge 2\int_{1}^{\infty} \frac{z}{(z+1)^3}dz=\frac{3}{4}. Since for every z,n\in [1,\infty]\Rightarrow \frac{\sqrt[n]{z^n+1}-z}{(z+1)^3}<\frac{1}{(z+1)^3} plus the fact that the integral\int_{1}^{\infty} dz/(z+1)^3 converges to a finite limit, we can apply the continuous version of Weierstrass M-criterion to obtain that a_n converges to a finite limit as the sum of finitely convergent integrals. Furthermore, since \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{z^n+1}-z=0 for z\ge 1, we obtain that \lim_{n \to \infty} a_n=2\int_{1}^{\infty} \frac{zdz}{(z+1)^3}=3/4 just as we wanted.

P.S The wrong value 1/2 that was mentioned in the first answer was due to a mistake on my part while searching for an anti-derivative for \frac{y}{(y+1)^3} using the method explained above, rather than noticing we could use uniform convergence directly and simplify things as a result, which was shown in the first post. So I first used the above method in my mind in order to solve the problem but a wrong sign of an 1/8 value made me calculate 1/2 initially. Seeing that I had a clash of results I proceeded to check my work, and then I finally noticed the mistake in my calculations and decided to upload my original solution. Hope this clears any sort of confusion about the two posts.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Definite Integral with Limit.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Νοέμ 2015, 09:19 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2011, 19:56
Δημοσ.: 169
Thanks Τσαμπασίδης Χάρης Got it.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group