forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Νοέμ 2017, 14:21

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Σύγκλιση σειράς
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Ιουν 2015, 21:09 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 11 Ιαν 2015, 00:38
Δημοσ.: 4
Να αποδείξετε ότι για κάθε x>0 η σειρά \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[2n]{x}-\sqrt[2n]{\frac{1}{x}})^2 συγκλίνει.

Edit: Διόρθωση τυπογραφικού (το + έγινε -). Ζητώ συγγνώμη από όσους ταλαιπώρησα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Σύγκλιση σειράς
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιουν 2015, 23:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 420
Αν x=1, τότε όλοι οι όροι είναι 0. Αν x\neq 1, θα συγκρίνουμε με την \sum\frac{1}{n^2}.

Σταθεροποιούμε x\neq 1, και έστω f_x(y)=x^y. Τότε f'_x(y)=x^y\ln x, άρα \lim_{y\to 0}\frac{x^y-1}{y}=f_x'(0)=\ln x. Επομένως,

\frac{\sqrt[2n]{x}-\sqrt[2n]{1/x}}{1/n}=\frac{1}{\sqrt[2n]{x}}\frac{\sqrt[n]{x}-1}{1/n}=\frac{1}{\sqrt[2n]{x}}\frac{x^{1/n}-1}{1/n}\to \ln x,

καθώς n\to\infty. Άρα \frac{(\sqrt[2n]{x}-\sqrt[2n]{1/x})^2}{1/n^2}\to \ln^2x\in(0,\infty) καθώς n\to\infty, και η \sum\frac{1}{n^2} συγκλίνει, επομένως και η δοσμένη συγκλίνει.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group