forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Οκτ 2018, 05:17

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 10 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Απορία - Ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μάιος 2007, 10:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Έστω [tex] y(t) = \frac{1}{\mu(t)} \left( \mu(t_0)y_0 + \int_{t_0}^t \mu(\tau)g(\tau) d\tau \right) [/tex]
και
[tex] \mu(t) = e^{\int p(t) dt} [/tex]

Διαβάζω στο βιβλίο ( §1.3, σελίδα 9) "Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις" (αλιγάκος-καλογερόπουλος) ότι η αντικατάσταση της μ(t) στην πρώτη παράσταση είναι:
[tex] y(t) = e^{ -\int_{t_0}^{t} p(s) ds} \left( e^{ \int_{t_0}^{t_0} p(s) ds}y_0 + \int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t} p(s) ds} g(\tau) d\tau \right) [/tex]

Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει να καταλάβω γιατί η αντικατάσταση της μ(τ) στο είναι ορισμένο ολοκλήρωμα από τ έως t;

Θα περίμενα το ολοκλήρωμα αυτό να είναι αόριστο. Μου φαίνεται δηλαδή, ότι
[tex]\int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t} p(s) ds} g(\tau) d\tau = \int_{t_0}^t e^{ \int p(s) ds} g(\tau) d\tau[/tex]


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μάιος 2007, 10:39 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Με άλλα λόγια, η απορία μου είναι γιατί ισχύει το εξής:
[tex]\int_{t_0}^t e^{ \int_{t_0}^{\tau} p(s) ds} g(\tau) d\tau = \int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t} p(s) ds} g(\tau) d\tau [/tex]


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απορία - Ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μάιος 2007, 14:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Γιώργος Παπαδημητρίου έγραψε:
Έστω [tex] y(t) = \frac{1}{\mu(t)} \left( \mu(t_0)y_0 + \int_{t_0}^t \mu(\tau)g(\tau) d\tau \right) [/tex]
και
[tex] \mu(t) = e^{\int p(t) dt} [/tex]

Διαβάζω στο βιβλίο ( §1.3, σελίδα 9) "Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις" (αλιγάκος-καλογερόπουλος) ότι η αντικατάσταση της μ(t) στην πρώτη παράσταση είναι:
[tex] y(t) = e^{ -\int_{t_0}^{t} p(s) ds} \left( e^{ \int_{t_0}^{t_0} p(s) ds}y_0 + \int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t} p(s) ds} g(\tau) d\tau \right) [/tex]

Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει να καταλάβω γιατί η αντικατάσταση της μ(τ) στο είναι ορισμένο ολοκλήρωμα από τ έως t;


Μαλλον λαθος κανω, αλλα η πιο απλη εξηγηση που μπορω να σκεφτω ειναι οτι στην παρασταση
[tex] y(t) = e^{ -\int_{t_0}^{t} p(s) ds} \left( e^{ \int_{t_0}^{t_0} p(s) ds}y_0 + \int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t} p(s) ds} g(\tau) d\tau \right) [/tex]

πρεπει απλα να φυγει η παρενθεση και να γινει

[tex] y(t) = e^{ -\int_{t_0}^{t} p(s) ds} e^{ \int_{t_0}^{t_0} p(s) ds}y_0 + \int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t} p(s) ds} g(\tau) d\tau [/tex]

οποτε ειναι σωστο. Καμια αλλη ιδεα ;

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απορία - Ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μάιος 2007, 15:19 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Εχεις δίκιο για την παρένθεση. Εφόσον [tex] \mu(t) = e^{\int p(t) dt} [/tex] τότε [tex] \mu(t_0) = e^{\int_{t_0}^{t_0} p(t) dt} = e^0 = 1 [/tex]

Άρα

[tex] y(t) = \frac{1}{\mu(t)} \left( \mu(t_0)y_0 + \int_{t_0}^t \mu(\tau)g(\tau) d\tau \right) \Rightarrow [/tex] [tex] y(t) = e^{ -\int_{t_0}^{t} p(s) ds}y_0 + e^{ -\int_{t_0}^{t} p(s) ds} \int_{t_0}^t e^{ \int_{t_0}^{\tau} p(s) ds} g(\tau) d\tau [/tex]

Οπότε η απορία που παραμένει είναι:
[tex]e^{ -\int_{t_0}^{t} p(s) ds} \int_{t_0}^t e^{ \int_{t_0}^{\tau} p(s) ds} g(\tau) d\tau = \int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t} p(s) ds} g(\tau) d\tau [/tex]


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απορία - Ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μάιος 2007, 18:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Γιώργος Παπαδημητρίου έγραψε:

Οπότε η απορία που παραμένει είναι:
[tex]e^{ -\int_{t_0}^{t} p(s) ds} \int_{t_0}^t e^{ \int_{t_0}^{\tau} p(s) ds} g(\tau) d\tau = \int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t} p(s) ds} g(\tau) d\tau [/tex]


Δε βλεπω που ειναι το προβλημα. Βαζεις το εκθετικο μεσα στο ολοκληρωμα, προσθετεις τους εκθετες στο γινομενο των εκθετικων και τελειωσες !

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μάιος 2007, 19:37 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιούλ 2006, 00:12
Δημοσ.: 36
Γιώργος Παπαδημητρίου έγραψε:
Με άλλα λόγια, η απορία μου είναι γιατί ισχύει το εξής:
[tex]\int_{t_0}^t e^{ \int_{t_0}^{\tau} p(s) ds} g(\tau) d\tau = \int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t} p(s) ds} g(\tau) d\tau [/tex]


Μάλλον πρόκειται για τυπογραφικό λάθος .βγάζει πλην (-) απέξω και αλλάζει τα άκρα δηλ .[tex]\int_{t_0}^t e^{ \int_{t_0}^{\tau} p(s) ds} g(\tau) d\tau = \int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t_0} p(s) ds} g(\tau) d\tau [/tex]

_________________
΄Εν οίδα ,ότι ουδέν οίδα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μάιος 2007, 19:50 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
bilstef έγραψε:
Γιώργος Παπαδημητρίου έγραψε:
Με άλλα λόγια, η απορία μου είναι γιατί ισχύει το εξής:
[tex]\int_{t_0}^t e^{ \int_{t_0}^{\tau} p(s) ds} g(\tau) d\tau = \int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t} p(s) ds} g(\tau) d\tau [/tex]


Μάλλον πρόκειται για τυπογραφικό λάθος .βγάζει πλην (-) απέξω και αλλάζει τα άκρα δηλ .[tex]\int_{t_0}^t e^{ \int_{t_0}^{\tau} p(s) ds} g(\tau) d\tau = \int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t_0} p(s) ds} g(\tau) d\tau [/tex]


Όχι δεν είναι λάθος, γιατί αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται παρακάτω αυτούσιος και δίνει αποτελέσματα. Δεν είναι απλά θέμα αλλαγής των άκρων.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απορία - Ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μάιος 2007, 19:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
dement έγραψε:
Γιώργος Παπαδημητρίου έγραψε:

Οπότε η απορία που παραμένει είναι:
[tex]e^{ -\int_{t_0}^{t} p(s) ds} \int_{t_0}^t e^{ \int_{t_0}^{\tau} p(s) ds} g(\tau) d\tau = \int_{t_0}^t e^{ -\int_{\tau}^{t} p(s) ds} g(\tau) d\tau [/tex]


Δε βλεπω που ειναι το προβλημα. Βαζεις το εκθετικο μεσα στο ολοκληρωμα, προσθετεις τους εκθετες στο γινομενο των εκθετικων και τελειωσες !

Δημητρης


Μπορείς να εξηγήσεις τι εννοείς; Πως θα βάλουμε το εκθετικό μέσα; Επιπλέον, δεν έχουμε πρόσθεση ολοκληρωμάτων, πως θα προσθέσουμε τα όρια;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μάιος 2007, 20:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 637
Κόλλησες κάπου χωρίς λόγο...
Πάρε τό δεύτερο μέλος τής σχέσης, ξέχνα γιά λίγο τήν εξωτερική ολοκλήρωση, οπότε έχεις:
(Tό ολοκλήρωμα p(s)ds τό λέω ω και τά όρια τά αναπαριστώ σά διάστημα)

e^-(τ,t)ω = e^-(to,t)ω * e^(to,τ)ω

Από αυτό όλο παίρνω τό εξωτερικό ολοκλήρωμα μέ όρια (to,t) που οδηγεί αμέσως στή διπλή σχέση που γράφεις στό αριστερό μέλος. Πρόσεξέ το και θα τό δείς αμέσως (λόγω ιδίων ορίων εξαφανίζεται τό εξωτερικό ολοκλήρωμα στό πρώτο e^-(to,t) )

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μάιος 2007, 21:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 24 Μαρ 2006, 18:08
Δημοσ.: 541
Τοποθεσια: Εξάρχεια
Apokalyptikos έγραψε:
Κόλλησες κάπου χωρίς λόγο...
Πάρε τό δεύτερο μέλος τής σχέσης, ξέχνα γιά λίγο τήν εξωτερική ολοκλήρωση, οπότε έχεις:
(Tό ολοκλήρωμα p(s)ds τό λέω ω και τά όρια τά αναπαριστώ σά διάστημα)

e^-(τ,t)ω = e^-(to,t)ω * e^(to,τ)ω

Από αυτό όλο παίρνω τό εξωτερικό ολοκλήρωμα μέ όρια (to,t) που οδηγεί αμέσως στή διπλή σχέση που γράφεις στό αριστερό μέλος. Πρόσεξέ το και θα τό δείς αμέσως (λόγω ιδίων ορίων εξαφανίζεται τό εξωτερικό ολοκλήρωμα στό πρώτο e^-(to,t) )

Αποκαλυπτικός


Έχεις δίκιο, η απορία μου λύθηκε. Ευχαριστώ (+dement). :thumbup:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 10 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group