forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Ιούλ 2018, 17:46

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Διαφορισιμότητα 2 μεταβλητών.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Ιαν 2018, 11:06 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 10 Ιαν 2010, 19:14
Δημοσ.: 59
Υπάρχουν 2 κριτήρια για την διαφορισιμότητα συνάρτησης 2 μεταβλητών σε σημείο x0:
1) Άν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι στο x0 και μια απ'αυτές είναι συνεχής σε περιοχή του x0.
2)Άν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι σε περιοχή του x0 και είναι συνεχής σε αυτήν την περιοχή.
Μπορεί να εφαρμόζεται το 1) και όχι το 2)? Δηλαδή να ορίζεται η df/dx ως συνεχής σε περιοχή του x0 η df/dy να μην ορίζεται καν για x=/=x0 και η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διαφορισιμότητα 2 μεταβλητών.
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Ιαν 2018, 12:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 432
Για το (2) που λες, η συνέχεια της f δεν αρκεί για να συμπεράνουμε παραγωγισιμότητα, εκτός αν εννοείς συνέχεια των μερικών παραγώγων.


Για την ερώτησή σου, έστω g μία συνεχής και πουθενά παραγωγίσιμη συνάρτηση. Έστω τώρα f(x,y)=(x^2+y^2)g(y). Τότε η f ικανοποιεί τις ιδιότητες που θες:

i) Για κάθε x, f_x=2xg(y), η οποία είναι συνεχής.

ii) Για (x,y)\neq (0,0), τότε f(x,y+h)-f(x,y)=(x^2+(y+h)^2)g(y+h)-(x^2+y^2)g(y)=(x^2+y^2)(g(y+h)-g(y))+2yhg(y+h)+h^2g(y+h). Αν η f_y(x,y) υπάρχει στο (x,y), τότε από τη συνέχεια της g έχουμε ότι το όριο (x^2+y^2)(g(y+h)-g(y))/h, όταν το h πάει στο 0, υπάρχει, το οποίο είναι άτοπο, αφού η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο y. Άρα η f_y(x,y) δεν υπάρχει στο (x,y)\neq (0,0).

iii) Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,0), αφού |f(x,y)|\leq C(x^2+y^2) κοντά στο (0,0).

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group