forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Σεπ 2017, 18:40

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ορισμός μήκους κύκλου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Ιαν 2015, 16:04 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Καλησπέρα,χρειάζομαι τη βοήθειά σας για μια πολύ γνωστή και σημαντική πρόταση που όλοι γνωρίζουμε. Οι ακολουθίες των περιμέτρων
των εγγεγραμμένων και των περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων ενός κύκλου ισοσυγκλίνουν και το κοινό τους όριο ορίζεται ως μήκος του κύκλου. Μπορείτε να μου πείτε σε ποιο βιβλίο θα βρω μια πλήρη και αυστηρή απόδειξη της παραπάνω πρότασης;
H δομή μιας τέτοιας απόδειξης θα πρέπει λογικά να είναι η εξής:
1)Εξαγωγή τύπων ακολουθιών που συσχετίζουν τις περιμέτρους των εγγεγραμμένων και των περιγεγραμμένων πολυγώνων μόνο
με το πλήθος των πλευρών τους ν (και με την ακτίνα του κύκλου που είναι σταθερή)
2)Απόδειξη ότι αυτές οι ακολουθίες είναι αντίστοιχα γνησίως αύξουσα και άνω φραγμένη(για τα εγγεγραμμένα) και γνησίως φθίνουσα και κάτω φραγμένη(για τα περιγεγραμμένα) όποτε οι ακολουθίες αυτές είναι συγκλίνουσες
3)Απόδειξη ότι η διαφορά αυτών των δύο ακολουθιών συγκλίνει στο μηδέν(οπότε το κοινό όριο τους ορίζεται ως μήκος του κύκλου)
Προσοχή! στο διαδίκτυο έχω βρει απόδειξη που χρησιμοποιεί τριγωνομετρία και όριο τριγωνομετρικών συναρτήσεων από τον Απειροστικό Λογισμό. Αυτό δεν είναι μαθηματικά θεμιτό, διότι προϋποθέτει τον ορισμό του μήκους του κύκλου.
Δεν ζητώ φυσικά από κανένα να το αποδείξει απλά παρακαλώ θερμά όποιον γνωρίζει που μπορώ να βρω αυτή την απόδειξη να με ενημερώσει. Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον ξοδέψει από τον χρόνο του(αν και νομίζω ότι αξίζει)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ορισμός μήκους κύκλου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Φεβ 2015, 10:53 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Ειλικρινά δεν γνωρίζω κάπου να σε παραπέμψω, αλλά θα επιχειρήσω μια απόδειξη, η πιο σωστά ένα σχεδιάγραμμα της:

Καταρχάς από την στιγμή που δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις τριγωνομετρία ένας ακριβής τύπος θα ήταν περίπλοκος. Γεωμετρικά όμως, μπορείς να δείξεις ότι οι ακολουθίες αυτές είναι γνησίως μονότονες. Θα δείξω ότι η πρώτη είναι γνησίως φθίνουσα.

Πράγματι, αν ορίσω a_n την περίμετρο του περιγεγραμμένου n-γώνου, και E_n το εμβαδόν του, θα είναι E_n=\frac{a_nR}{2} (εύκολα από διαχωρισμό σε τρίγωνα). Επειδή προφανώς η ακολουθία των εμβαδών είναι γνησίως φθίνουσα θα είναι και η ακολουθία των περιμέτρων. Αντίστοιχα αποδεικνύεται γνησίως αύξουσα η άλλη ακολουθία (θα πρέπει να χρησιμοποιήσεις τύπο Ήρωνα για το εμβαδό όμως). Άρα τα όρια υπάρχουν (οι ακολουθίες είναι και φραγμένες).

Τώρα αν δείξεις ότι \lim \frac{a_n}{b_n}=1 έχεις τελειώσει. Σε αυτό το κλάσμα όμως, με κατάλληλη τοποθέτηση των πολυγώνων μπορείς να εφαρμόσεις το θεώρημα θαλή και να το δείξεις ίσο με το κλάσμα της απόστασης από το κέντρο σε μια κορυφή του περιγεγραμμένου πολυγώνου διά της ακτίνα του κύκλου. Τώρα σου μένει να δείξεις ότι το πρώτο μέγεθος τείνει στην ακτίνα. Αυτό βγαίνει από ορισμό του ορίου.

Ξέρω ότι δεν είναι πολύ ξεκάθαρη σε διάφορα σημεία απόδειξη απλά θα μου έπαιρνε πολύ χρόνο να την γράψω ολόκληρη.

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ορισμός μήκους κύκλου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Φεβ 2015, 12:05 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 15 Σεπ 2013, 19:41
Δημοσ.: 99
Η αλήθεια ειναι ότι με απασχόλησε και μενα αυτό το ερώτημα πρόσφατα. Μου έκανε εντύπωση το γεγονός ότι για κατι τόσο γνωστό έψαξα πολύ για να βρω μερικές αποδείξεις.Στα ελληνικά δεν βρήκα...
Να δύο links που μπορεί να σε βοηθήσουν.
http://math.stackexchange.com/questions ... ing-limits

http://math.wikia.com/wiki/Proof:_Pi_is_Constant

Νομίζω ότι το ερώτημα λ=πδ είναι ισοδύναμο με το λ1/δ1=λ2/δ2=σταθερό για καθε ζεύγος κύκλων (όπου λ:μήκος κύκλου,δ:διάμετρος). Δηλ. ότι το π (όπως έχουμε ονομάσει το λόγο μήκους προς διάμετρο κύκλου είναι σταθερό).
Επίσης δεν καταλαβαίνω γιατί η τριγωνομετρία εμπεριέχει τον ορισμό μήκους κύκλου; Από τα λίγα που γνωρίζω ότι είναι οι σύγχρονοι ορισμοί των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι αποδεσμευμένοι από κάτι τέτοια.Αν μπορείς, εξήγησέ το...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ορισμός μήκους κύκλου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Φεβ 2015, 22:15 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Captainjp σε ευχαριστώ για τον χρόνο που διέθεσες, όταν μπορέσω θα προσπαθήσω να δουλέψω πάνω σε αυτά που προτείνεις αν και κινούνται σε διαφορετική κατεύθυνση από αυτό που είχα αρχικά κατά νου. ΘΑΝ-ΜΑΘ σε ευχαριστώ επίσης θερμά, έχεις δίκιο η τριγωνομετρία είναι ανεξάρτητη από την έννοια του μήκους κύκλου. Με αυτό τον τρόπο η ακολουθία των περιμέτρων των εγγραμμένων πολυγώνων είναι Pν=ν*R*sqrt{2*[1-cos(360/ν)]}.Μέχρι στιγμής δεν έχω κατορθώσει να αποδείξω ότι είναι άνω φραγμένη ή γνησίως αύξουσα. Η απόδειξη του θεωρήματος που λέει ότι ο λόγος του μήκους προς τη διάμετρο ενός κύκλου είναι σταθερός υπάρχει στο βιβλίο ''Επίπεδη Γεωμετρία'' του Χρ.Ταβανλή προϋποθέτει όμως την έννοια του μήκους κύκλου και την ισοσύγκλιση των ακολουθιών εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων πολυγώνων.Οι σύνδεσμοι που αναφέρεις δεν παρέχουν κάποια αυστηρή μαθηματική απόδειξη και μου κάνει εντύπωση,το θέμα αυτό έχει γίνει για μένα μαθηματικό απωθημένο


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ορισμός μήκους κύκλου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Φεβ 2015, 13:34 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Η κα. Δάλλα μου μίλησε για αυτό philser, που πιστεύω ότι μπορεί να σε βοηθήσει πολύ:

http://www.math.uoc.gr:1080/erevna/dipl ... ki_MDE.pdf

Να πω ότι άσχετα με το αν γίνεται να θεμελιωθούν οι τριγωνομετρικές έννοιες αλλιώς και να οριστεί έτσι το μήκος του κύκλου - που γίνεται - νομίζω ότι είναι ενδιαφέρουσα μια προσέγγιση πιο "φυσική"... Εννοώ όπως και να το κάνουμε το μήκος του κύκλου διαισθητικά είναι πολύ απλούστερο από το ημίτονο και το συνημίτονο.

Πάντως, για την ακολουθία μέσω τριγωνομετρίας: Προφανώς γνωρίζουμε εκ των υστέρων ότι είναι και τα δύο αφού τείνει στο μήκος του κύκλου, 2πR, και προσπαθούμε να αποδείξουμε αυτό. Αυτό μας δίνει την ιδέα να αποδείξουμε ότι

\lim n^2(1-cos(\frac{2\pi}{n}))=2\pi^2

Αυτό βγαίνει με διπλό L'hopital (Το n^2 πάει στον παρονομαστή).

Δεν μου είναι όμως τελείως σαφές ότι το γεγονός ότι η ολόκληρη γωνία είναι 2\pi είναι ανεξάρτητο του μήκους του κύκλου, γεγονός που χρησιμοποιείται στην εξαγωγή του τριγωνομετρικού τύπου. Νομίζω ότι η εργασία που αναφέρει η κα. Δάλλα θα είναι πο διαφωτιστική :)

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ορισμός μήκους κύκλου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Φεβ 2015, 10:10 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 15 Σεπ 2013, 19:41
Δημοσ.: 99
Παντως ειναι αποριας αξιο πως για ενα τοσο γνωστο ζητημα μια αναζητηση στο ιντερνετ δινει ολα τα αλλα εκτος απο μια πληρη μαθηματικη αποδειξη... :pissed:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ορισμός μήκους κύκλου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Φεβ 2015, 16:29 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Captainjp, η απόδειξη ότι σε δύο κύκλους με μήκη L,L' και ακτίνες R,R' αντίστοιχα ισχύει ότι L/2R=L'/2R' (και αυτή τη σταθερά την ονομάζουμε διεθνώς π) προϋποθέτει ότι οι ακολουθίες εγγεγραμμένων-περιγεγραμμένων πολυγώνων ισοσυγκλίνουν. H διεύθυνση που
γράφεις δεν με οδηγεί κάπου(Το αντικείμενο που ζητήσατε δεν υπάρχει σε αυτό τον εξυπηρετητή ή δεν μπορεί να εξυπηρετηθεί).
Προφανώς έχει γίνει κάποιο λάθος. Είναι εύκολο να μου την ξαναστείλεις;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ορισμός μήκους κύκλου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Φεβ 2015, 15:13 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
http://www.math.uoc.gr:1080/erevna/dipl ... ki_MDE.pdf

Καλύτερα;

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ορισμός μήκους κύκλου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Φεβ 2015, 16:08 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Είναι ΟΚ,θα το μελετήσω,ευχαριστώ captainjp!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ορισμός μήκους κύκλου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Φεβ 2015, 07:39 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Τίποτα! :)

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ορισμός μήκους κύκλου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Απρ 2015, 07:08 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Σεπ 2008, 22:22
Δημοσ.: 47
Ασχολήθηκα με το θέμα μετά από καιρό. Η κατάσταση έχει εξής: Σε κύκλο C(O,R) έστω Τν,τν αντίστοιχα οι περίμετροι του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κανονικού πολυγώνου. Το εγγεγραμμένο πολύγωνο κατασκευάζεται διαιρώντας τον κύκλο σε
ν ίσα τόξα , το δε περιγεγραμμένο σχεδιάζοντας εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία αυτά. Τότε το απόστημα του περιγεγραμμένου
πολυγώνου είναι ίσο με R και τα δύο αυτά πολύγωνα είναι όμοια συνεπώς τν/Τν=αν/R άρα τν=(αν/R)*Tν.Έχω αποδείξει αυστηρά
ότι limλν=0 και άρα ότι limαν=R οπότε για να ολοκληρωθεί η απόδειξη αρκεί να αποδείξω ότι απλά η ακολουθία Τν συγκλίνει οπότε
σε αυτή την περίπτωση limτν=lim(αν/R)*limTν=limTν.Με εφαρμογή στοιχειώδους τριγωνομετρίας ισχύει ότι Τν=2Rνεφ(180/ν).
Η ακολουθία Τν είναι προφανώς φραγμένη κάτω από το 0 άρα αυτό που απομένει είναι να αποδειχθεί ότι η ακολουθία νεφ(180/ν)
με ν=3,4,... είναι γνησίως φθίνουσα(και άρα και η Τν).Όποιος μπορεί να βοηθήσει προς αυτή την κατεύθυνση θα το εκτιμούσα ιδιαιτέρως!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group