forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2018, 12:54

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 17 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2007, 16:56 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Ιαν 2007, 15:29
Δημοσ.: 75
Τοποθεσια: Αθηνα
[tex]\int_0^1 e^{x^2} dx[/tex] :evil:

Μπορει να λυθει?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2007, 17:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 19 Μαρ 2006, 13:08
Δημοσ.: 485
Με σειρές Taylor. Έχει την ταλαιπωρία του ο υπολογισμός.

_________________
Είμαι ο groovemaster. To υπογράφω.

founder of the \heartsuit tex command.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2007, 17:52 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Μάιος 2006, 13:21
Δημοσ.: 666
Η σειρά [tex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} [/tex] συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,1] στην [tex]e^{t^2}[/tex] ,λόγω του κριτηρίου Weierstrass και καθώς [tex] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}=e
^{t} [/tex] [tex] \forall t \in \mathbb{R}.[/tex] Άρα η εξής εναλλαγή ολοκληρωμάτων αιτιολογείται,[tex]\int_0^1 e^{t^{2}} dt=\int_ 0^1 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n}}{n!} dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_0^1 t^{2n} dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{2n+1} (1),[/tex] το οποίο είναι η τιμή του ολοκληρώματος.Εάν γράψουμε [tex]\frac{1}{2n+1}=\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2}\frac{1}{(n+1)}{\frac{1}{2n+1} (2) [/tex] στην (1),παίρνουμε [tex]\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{2n+1} [/tex] ,δηλαδή [tex]\frac{e-1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{2n-1}.[/tex]Τώρα όπως στην (2) θέτουμε [tex]\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{2(n+1)}+\frac{3}{2}\frac{1}{(n+1)(2n-1)}[/tex] στον τελευταίο τύπο,ο οποίος γίνεται [tex]
\frac{e-1}{2}+\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}+3\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{2n-3}=\frac{e-s_0}{2}+\frac{e-s_1}{4}+\epsilon_2,[/tex] όπου [tex] S_N=\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!},N\geq0.[/tex]Μπορούμε να συνεχίσουμε τη διαδικασία (με απογοητευτικά πολλές πράξεις) κάθε φορά αντικαθιστώντας το [tex]\frac{1}{2n-k}[/tex] στη σειρά με [tex] \frac{1}{2(n+1)}+x [/tex] όπου ενδεχομένως να προκύπτει ότι [tex] \epsilon_n\rightarrow 0[/tex], βρίσκοντας κάθε φορά μία διαφορετική έκφραση για το ζητούμενο ολοκλήρωμα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2007, 20:18 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Ιαν 2007, 15:29
Δημοσ.: 75
Τοποθεσια: Αθηνα
Η αλήθεια είναι ότι δεν κατάλαβα τίποτα, μαθητής Γ λυκείου είμαι και ελπίζω όταν περάσω στο Παν.. Θα μπορώ να τα καταλαβαίνω...
Όμως η τελική λύση ποια είναι? Είναι ένας αριθμός?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2007, 20:30 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Δεκ 2006, 12:55
Δημοσ.: 4507
Κοίτα δεν τά έχω και πολύ πρόσφατα, αν και πρωτοετής, αλλά έχω ψιλοξεχάσει ολα τα κολπάκια που ήξερα πέρσυ. Το λοιπόν θα προσπαθήσω να βοηθήσω. Δοκίμασε να θέσεις [tex]u=x^2[/tex] και μετά ολοκλήρωσε την [tex]e(x)[/tex], και μετά αντικατέστησε το u πάλι με [tex]x^2[/tex] και δες άμα βγαίνει...

_________________
So close no matter how far
Couldn't be much more from the heart
Forever trusting who we are
And nothing else matters

Never opened myself this way
Life is ours, we live it our way
All these words I don't just say
And nothing else matters...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2007, 20:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 19 Μαρ 2006, 13:08
Δημοσ.: 485
fractaldemon έγραψε:
Κοίτα δεν τά έχω και πολύ πρόσφατα, αν και πρωτοετής, αλλά έχω ψιλοξεχάσει ολα τα κολπάκια που ήξερα πέρσυ. Το λοιπόν θα προσπαθήσω να βοηθήσω. Δοκίμασε να θέσεις [tex]u=x^2[/tex] και μετά ολοκλήρωσε την [tex]e(x)[/tex], και μετά αντικατέστησε το u πάλι με [tex]x^2[/tex] και δες άμα βγαίνει...


Αποκλείεται να βγαίνει έτσι. Θα μας χρειαζόταν και ένα x μέσα στο ολοκλήρωμα για να αλλάξουμε το διαφορικό έτσι όπως λες.

Σε ΚΑΜΙΑ περίπτωση δεν υπολογίζεται με γνώσεις λυκείου.

_________________
Είμαι ο groovemaster. To υπογράφω.

founder of the \heartsuit tex command.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2007, 20:52 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Δεκ 2006, 12:55
Δημοσ.: 4507
groovemaster έγραψε:
fractaldemon έγραψε:
Κοίτα δεν τά έχω και πολύ πρόσφατα, αν και πρωτοετής, αλλά έχω ψιλοξεχάσει ολα τα κολπάκια που ήξερα πέρσυ. Το λοιπόν θα προσπαθήσω να βοηθήσω. Δοκίμασε να θέσεις [tex]u=x^2[/tex] και μετά ολοκλήρωσε την [tex]e(x)[/tex], και μετά αντικατέστησε το u πάλι με [tex]x^2[/tex] και δες άμα βγαίνει...


Αποκλείεται να βγαίνει έτσι. Θα μας χρειαζόταν και ένα x μέσα στο ολοκλήρωμα για να αλλάξουμε το διαφορικό έτσι όπως λες.

Σε ΚΑΜΙΑ περίπτωση δεν υπολογίζεται με γνώσεις λυκείου.


Αφού το παιδί είπε ότι είναι Γ' Λυκείου, και για να τους το βάλανε μάλλον θα λύνεται με γνώσεις λυκείου. Εκτός και αν παρεξήγησα....

Ίσως να κάνω λάθος για τον τρόπο, αλλά νομίζω ότι λύνεται και με γνώσεις Λυκείου...

_________________
So close no matter how far
Couldn't be much more from the heart
Forever trusting who we are
And nothing else matters

Never opened myself this way
Life is ours, we live it our way
All these words I don't just say
And nothing else matters...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2007, 20:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιούλ 2006, 21:08
Δημοσ.: 2095
Τοποθεσια: Βριλησσια
νομιζω ειναι ισο με [tex]e + c , c \in \mathbb{R}[/tex].
Για το ορισμενο ολοκλήρωμα το αποτέλεσμα ειναι [tex]e[/tex]

ΥΓ : μπορει να ειναι λαθος...αλλα δεν ειναι spam

_________________
Τι εννοείτε ακριβώς?
Those who can, do. Those who can't, teach...
Εικόνα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2007, 21:48 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Ιαν 2007, 15:29
Δημοσ.: 75
Τοποθεσια: Αθηνα
fractaldemon έγραψε:
Αφού το παιδί είπε ότι είναι Γ' Λυκείου, και για να τους το βάλανε μάλλον θα λύνεται με γνώσεις λυκείου. Εκτός και αν παρεξήγησα....

Ίσως να κάνω λάθος για τον τρόπο, αλλά νομίζω ότι λύνεται και με γνώσεις Λυκείου...


Δεν μας το βαλανε στο σχολειο, απλα βρεικα κατι παρομοιο http://glyk.kwikphp.com/forum/viewtopic.php?id=19 και ρωτησα αν λυνεται.

Mitlon, πως το βρηκες αυτο?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2007, 21:52 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Δεκ 2006, 12:55
Δημοσ.: 4507
Σίγουρα είναι για το επίπεδο σου αυτό το ολοκλήρωμα;;;; Γιατί από ότι είδα τα παιδιά μια χαρά στο εξηγήσανε, αν και δεν κατάλαβες τπτ :P :P :P

_________________
So close no matter how far
Couldn't be much more from the heart
Forever trusting who we are
And nothing else matters

Never opened myself this way
Life is ours, we live it our way
All these words I don't just say
And nothing else matters...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2007, 22:22 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Ιαν 2007, 15:29
Δημοσ.: 75
Τοποθεσια: Αθηνα
Μα δεν μου το εξήγησε κανένας. Αν εννοείς αυτό http://glyk.kwikphp.com/forum/viewtopic.php?id=19 τότε εγώ το έγραψα. Όμως εγώ ρώτησα για το [tex]\int_0^1 e^{x^2} dx[/tex]


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μαρ 2007, 22:44 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Δεκ 2006, 12:55
Δημοσ.: 4507
sofos έγραψε:
Η σειρά [tex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} [/tex] συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,1] στην [tex]e^{t^2}[/tex] ,λόγω του κριτηρίου Weierstrass και καθώς [tex] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}=e
^{t} [/tex] [tex] \forall t \in \mathbb{R}.[/tex] Άρα η εξής εναλλαγή ολοκληρωμάτων αιτιολογείται,[tex]\int_0^1 e^{t^{2}} dt=\int_ 0^1 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n}}{n!} dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_0^1 t^{2n} dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{2n+1} (1),[/tex] το οποίο είναι η τιμή του ολοκληρώματος.Εάν γράψουμε [tex]\frac{1}{2n+1}=\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2}\frac{1}{(n+1)}{\frac{1}{2n+1} (2) [/tex] στην (1),παίρνουμε [tex]\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{2n+1} [/tex] ,δηλαδή [tex]\frac{e-1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{2n-1}.[/tex]Τώρα όπως στην (2) θέτουμε [tex]\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{2(n+1)}+\frac{3}{2}\frac{1}{(n+1)(2n-1)}[/tex] στον τελευταίο τύπο,ο οποίος γίνεται [tex]
\frac{e-1}{2}+\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}+3\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{2n-3}=\frac{e-s_0}{2}+\frac{e-s_1}{4}+\epsilon_2,[/tex] όπου [tex] S_N=\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n!},N\geq0.[/tex]Μπορούμε να συνεχίσουμε τη διαδικασία (με απογοητευτικά πολλές πράξεις) κάθε φορά αντικαθιστώντας το [tex]\frac{1}{2n-k}[/tex] στη σειρά με [tex] \frac{1}{2(n+1)}+x [/tex] όπου ενδεχομένως να προκύπτει ότι [tex] \epsilon_n\rightarrow 0[/tex], βρίσκοντας κάθε φορά μία διαφορετική έκφραση για το ζητούμενο ολοκλήρωμα.

Και όλο αυτό τί είναι;;; :P :P :P

_________________
So close no matter how far
Couldn't be much more from the heart
Forever trusting who we are
And nothing else matters

Never opened myself this way
Life is ours, we live it our way
All these words I don't just say
And nothing else matters...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Μαρ 2007, 16:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Μάιος 2006, 13:21
Δημοσ.: 666
Oλο αυτό είναι ένας τρόπος να γράψουμε την τιμή του ολοκληρώματος σαν σειρά που θα περιλαμβάνει στους όρους της τον e,κάτι σαν [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n(e-s_n)[/tex] όπου τα [tex]\alpha_n[/tex] είναι κάτι σαν [tex]\frac{(2n)!}{n! 4^n}[/tex], μόλις κάνω τους υπολογισμούς θα τους ποστάρω.Γενικά είναι μία προσπάθεια να εκφραστεί το ολοκλήρωμα με γνωστές εκφράσεις.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Μαρ 2007, 17:23 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Δεκ 2006, 12:55
Δημοσ.: 4507
Ναι εγώ το ξέρω και ας μην έχω κάνει σειρές ακόμα :P :P :P . Για το παιδί το πα... μια και είναι Γ Λυκείου αποκλείεται να το καταλάβει. Εδώ δεν καταλαβαίνω εγώ αυτήν την λύση καλά καλά :lol: :lol: :lol: . Τεσπά δεν υπάρχει μια πιο απλή λύση;;;

_________________
So close no matter how far
Couldn't be much more from the heart
Forever trusting who we are
And nothing else matters

Never opened myself this way
Life is ours, we live it our way
All these words I don't just say
And nothing else matters...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Απρ 2007, 05:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 04 Μάιος 2006, 13:21
Δημοσ.: 666
Χωρίς να είμαι σίγουρος 100% δεν πρέπει να υπάρχει κάτι πιο απλό από το [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{2n+1}.[/tex]Γράφω πως μπόρουμε να βρούμε τα [tex]\alpha_n[/tex]:Φαίνεται από τις εξής ισότητες [tex]\omega=\int_{0}^{1}e^{x^2}dx=\frac{1}{2}(e-s_0)+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{2n-1}[/tex][tex]=\frac{1}{2}(e-s_0)+\frac{1}{4}(e-s_1)+\frac{3}{4}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{2n-3}[/tex] ότι για κάθε Ν>0 έχουμε [tex]\omega=\sum_{k=0}^{N-1}\alpha_k(e-s_k)+b_N\sum_{n=N}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{2n-2N+1} (1)[/tex] για κάποιες σταθερές [tex]\alpha_k,\beta_N.[/tex]Γράφουμε [tex]\frac{1}{2n-2N+1}=\frac{1}{2(n+1)}+\frac{2N+1}{2(n+1)(2n-2N+1)}[/tex] στην προηγούμενη σχέση,οπότε έχουμε [tex]\omega=\sum_{k=0}^{N-1}\alpha_k(e-s_k)+\frac{\beta_N}{2}(e-s_N)+\frac{2N+1}{2}\beta_N[/tex][tex]\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{2n-2(N+1)+1}[/tex] ,άρα πρέπει [tex]\alpha_N=\frac{\beta_N}{2}[/tex] και [tex]\beta_{N+1}=\frac{2N+1}{2}\beta_N.[/tex] Επομένως επαγωγικά συμπεραίνουμε ότι [tex]\beta_N=\frac{\beta_1}{2^{N-1}} \prod_{k=1}^{N-1}(2k+1)=\frac{N!}{4^N}{2N\choose\ N}[/tex] ,εφόσoν [tex]\beta_1=\frac{1}{2}.[/tex] Άρα αντικαθιστώντας στην (1) για Ν>0 ισχύει [tex]\omega=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{k!}{4^k}{2k\choose\ k}(e-s_k)+\frac{N!}{4^N}{2N\choose\ N}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+Ν)!}\frac{1}{2n+1} (2).[/tex] Η τελευταία σειρά είναι <[tex]\frac{1}{N!}(1+\frac{1}{N+1}+\frac{1}{(N+1)^2}+...)=\frac{1}{N!}\frac{N+1}{N}[/tex] ,επομένως ο δεύτερος προσθεταίος της (2) είναι < [tex]\frac{N!}{4^N}{2N\choose\ N}\frac{1}{N!}{(1+\frac{1}{N+1})=\frac{{2N\choose\ N}}{4^N}(1+\frac{1}{N+1}).[/tex]O τύπος του Stirling συνεπάγεται ότι [tex]N^{\frac{1}{2}}\frac{{2N\choose\ N}}{4^N}\rightarrow \pi^{-\frac{1}{2}}[/tex] δηλαδή ο ύποπτος προσθεταίος τείνει στο μηδέν καθώς το N αυξάνει.Άρα λόγω της (2) καταλήγουμε σε ένα δεύτερο τύπο για το [tex]\omega=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!4^n}(e-s_n).[/tex]


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 17 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group