forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 12 Νοέμ 2018, 19:45

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θεώρημα της απόκλισης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Ιουν 2014, 03:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 02 Σεπ 2012, 18:29
Δημοσ.: 118
Γειά σας!

Διαβάζω την απόδειξη του θεωρήματος της απόκλισης από τις σημειώσεις μου και έχω κάποιες ερωτήσεις. :?:

Η απόδειξη του θεωρήματος:
\iiint_D \nabla \cdot \overrightarrow{F} dV= \iint_S \overrightarrow{F} \cdot \hat{n} ds
είναι:

Εικόνα

z_1=f_1(x,y), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  (x,y) \in \mathbb{R}
z_2=f_2(x,y), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  (x,y) \in \mathbb{R}

\overrightarrow{F}=M\hat{\imath}+N \hat{\jmath}+P \hat{k}

\hat{n}=\hat{\imath} \cos{\alpha}+\hat{\jmath} \cos{\beta}+ \hat{k} \cos{\gamma}

\iint_S \overrightarrow{F} \cdot \hat{n} d \sigma =\iint_S (M \cos{\alpha}+N \cos{\beta}+P \cos{\gamma}) d \sigma =\iiint_D(\frac{\partial{M}}{\partial{x}}+\frac{\partial{N}}{\partial{y}}+\frac{\partial{P}}{\partial{z}})dxdydz
____________________________________________________________________________________________________________

\iint_S M \cos{\alpha}d \sigma=\iiint_D \frac{\partial{M}}{\partial{x}}dxdydz
\iint_S N \cos{\beta}d \sigma=\iiint_D \frac{\partial{N}}{\partial{y}}dxdydz
\iint_S P \cos{\gamma}d \sigma=\iiint_D \frac{\partial{P}}{\partial{z}}dxdydz
____________________________________________________________________________________________________________

\iint_S P \cos{\gamma}d \sigma=\iint_{S_1} P \cos{\gamma}d \sigma+\iint_{S_2} P \cos{\gamma}d \sigma

Εικόνα

\hat{k} \cdot \hat{n_2}=\cos{\gamma_2}>0

\cos{\gamma_2}d \sigma=dxdy

Εικόνα

\cos{\gamma_1}<0

\cos{\gamma_1} d \sigma=-dxdy


\iint_S P \cos{\gamma} d \sigma =\iint_R P(x,y,z_2) dxdy-\iint_R P(x,y,z_1)dxdy =\iint_R[P(x,y,z_2)-P(x,y,z_1)]dxdy =\iint_R[\int_{z_1}^{z_2}\frac{\partial{P}}{\partial{z}}dz]dxdy =\iiint_D \frac{\partial{P}}{\partial{z}}dxdydz
____________________________________________________________________________________________________________

Άρα \iiint_D \nabla \cdot \overrightarrow{F} d \overrightarrow{V}=\iint_S \overrightarrow{F} \cdot \hat{n}d \sigma



Γιατί παίρνουμε στην αρχή \hat{n}=\hat{\imath} \cos{\alpha}+\hat{\jmath} \cos{\beta}+ \hat{k} \cos{\gamma} ;

Γιατί ισχύει: \cos{\gamma}d \sigma=dxdy ;

Επίσης γιατί ισχύει \cos{\gamma_2}>0 και \cos{\gamma_1}<0 ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θεώρημα της απόκλισης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Ιουν 2014, 11:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 16 Δεκ 2010, 15:16
Δημοσ.: 296
Κάπως βιαστικά γιατί είμαι σε απίστευτη πίεση χρόνου
mathmari έγραψε:
Γιατί παίρνουμε στην αρχή \hat{n}=\hat{\imath} \cos{\alpha}+\hat{\jmath} \cos{\beta}+ \hat{k} \cos{\gamma} ;

Το n είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια. Οι προβολές του πάνω στους άξονες x, y z είναι αντίστοιχα cosα, cosβ, cosγ. Είναι οι προβολές του δηλαδή στους 3 άξονες (φέρε την εικόνα στο νου σου).


mathmari έγραψε:
Γιατί ισχύει: \cos{\gamma}d \sigma=dxdy ;


ds είναι η στοιχειώδης επιφάνεια. Αν πολλαπλασιάσεις με cosγ παίρνεις την προβολή της πάνω στο οριζόντιο επίπεδο.

mathmari έγραψε:
Επίσης γιατί ισχύει \cos{\gamma_2}>0 και \cos{\gamma_1}<0 ;


Για να δείξεις ότι κάθε ένα από τα διπλά ολοκληρώματα είναι ίσο με το αντίστοιχο από τα τριπλά διαλέγεις το τρίτο μόνο (και τα άλλα δείχνονται ομοίως). Έχει φράξει το στοιχειώδη όγκο από πάνω και κάτω από τις z1=f1(x,y) και z2=f2(x,y). Τα συγκεκριμένα ολοκληρώματα αφορούν μόνο τις συνιστώσες του πεδίου που είναι παράλληλες στο z και της επιφάνειας που είναι στο επίπεδο xy (αυτές μόνο έχουν ροή, οι άλλες είναι 0).
Στην από κάτω επιφάνεια που φράσσει, δηλ την z1=f1(x,y) η ροή είναι ανάποδα. Μπορείς να πεις ότι η ροή μπαίνει (προς τα μέσα) ενώ στην z2=f2(x,y) βγαίνει (προς τα έξω) ... ή αλλιώς ότι η γωνία F και n είναι πάνω από π/2 και έχει αρνητικό συνημίτονο.

Γενικά να έχεις στο νου σου ότι το div (απόκλιση) είναι η ροής προς τα έξω προς τον όγκο καθώς ο όγκος τείνει στο 0. Το θεώρημα της απόκλισης σου λέει ότι είτε ολοκληρώσεις την απόκλιση σε όλο τον όγκο (τριπλό ολοκλήρωμα), είτε πάρεις το επιφανειακό ολοκλήρωμα πάνω στην οριακή επιφάνεια που φράσσει τον όγκο σου (διπλό ολοκλήρωμα) είναι το ίδιο. Ωραία σχήματα πάνω σε αυτά θα δεις στον ηλεκτρομαγνητισμό του Purcell (σειρά Berkeley)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group