forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 19 Νοέμ 2018, 16:32

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Επιφανειακό ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Μάιος 2014, 16:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Σεπ 2012, 18:29
Δημοσ.: 118
Γειά!

Διαβάζω την απόδειξη του επιφανειακού ολοκληρώματος από τις σημειώσεις μου άλλα αντιμετωπίζω κάποια προβλήματα. :(

Η απόδειξη είναι η εξής:

Εικόνα

\Delta P_k=\frac{\Delta A_k}{\cos{\gamma}}

g: πυκνότητα

Ολοκλήρωμα=\sum_k \Delta P_k \cdot g(x_k, y_k, z_k) =\sum_k g(x_k, y_k, z_k) \cdot \frac{\Delta A_k}{\cos{\gamma}}=\iint_S g(x,y,z) \cdot \frac{dA}{\cos{\gamma}}

Εικόνα

\cos{\gamma}=\frac{|\nabla{F} \cdot \hat{n}|}{|\nabla{F}|}

\iint_S g(x,y,z) \frac{|\nabla{F}|}{|\nabla{F} \cdot \hat{n}|} dA
d \sigma=\frac{|\nabla{F}|}{|\nabla{F} \cdot \hat{n}|} dA

Άρα \iint_R g(x,y,z) d \sigma=\iint_S g(x,y,z) \frac{\nabla{F}}{|\nabla{F} \cdot \hat{n}|} dA.

:|


Μπορείτε να μου εξηγήσετε στις σχέσεις:
Ολοκλήρωμα=\sum_k \Delta P_k \cdot g(x_k, y_k, z_k) =\sum_k g(x_k, y_k, z_k) \cdot \frac{\Delta A_k}{\cos{\gamma}}=\iint_S g(x,y,z) \cdot \frac{dA}{\cos{\gamma}}
γιατί ισχύει η τελευταία ισότητα; :?

Επίσης πως βρήκαμε την σχέση:
\cos{\gamma}=\frac{|\nabla{F} \cdot \hat{n}|}{|\nabla{F}|} :?:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επιφανειακό ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μάιος 2014, 07:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 16 Δεκ 2010, 15:16
Δημοσ.: 296
mathmari έγραψε:
Γειά!
Μπορείτε να μου εξηγήσετε στις σχέσεις:
Ολοκλήρωμα=\sum_k \Delta P_k \cdot g(x_k, y_k, z_k) =\sum_k g(x_k, y_k, z_k) \cdot \frac{\Delta A_k}{\cos{\gamma}}=\iint_S g(x,y,z) \cdot \frac{dA}{\cos{\gamma}}
γιατί ισχύει η τελευταία ισότητα; :?


Καταρχήν είναι βασικό να πάρεις εικόνα για τις σχέσεις. Άρα θα στραφούμε στον ηλεκτρομαγνητισμό :D
Φαντάσου ότι έχεις ένα διανυσματικό πεδίο (πχ την ένταση ενός ηλεκτροστατικού πεδίου) και θέλεις να δεις τη ροή μέσα από κάποια επιφάνεια, δηλαδή πόσες δυναμικές γραμμές διέρχονται μέσα από την επιφάνεια κάθετα.

Έχεις χωρίσει την επιφάνειά σου σε πολύ μικρά στοιχειώδη κομματάκια ΔΡκ τα οποία είναι προσανατολισμένα και φαντάσου ότι n είναι το κάθετο διάνυσμα προς τα έξω. Δηλαδή φαντάσου ότι το διάνυσμα έχει μέτρο αυτό της στοιχειώδους επιφάνειας και διεύθυνση κάθετη σε αυτή. Επειδή σε ενδιαφέρει η κάθε προβολή του πεδίου στην επιφάνεια παίρνεις εσωτερικό γινόμενο. Έτσι έχεις το g(xκ,yκ,zκ) * ΔΡκ. Αυτό είναι η ροή του πεδίου πάνω στη στοιχειώδη επιφάνεια με αύξοντα αριθμό κ. Αν τα αθροίσεις για όλη την επιφάνεια παίρνεις τη ροή του πεδίου σε όλη την επιφάνεια.

Το ΔΡκ σχηματίζει κάποια γωνία γ με το οριζόντιο επίπεδο. Άρα αν θέλεις να βάλεις το εμβαδό της οριζόντιας προβολής του ΔΡκ στο παιχνίδι (που είναι η ΔΑκ), πρέπει να χρησιμοποιήσεις το ΔΑκ=ΔΡκ * cosγ. Έτσι περνάς στη δεύτερη ποσότητα.
Στη συνέχεια παίρνεις το όριο καθώς τα στοιχειώδη κομματάκια που έχεις χωρίσει την επιφάνειά σου γίνονται άπειρα και φτάνεις στην τρίτη σχέση (διπλό ολοκλήρωμα). Είναι μια διαδικασία ανάλογη με αυτή που κάνεις διαμέριση Riemann και περνάς από το άθροισμα στο ολοκλήρωμα. Το διπλό ολοκλήρωμα έχει να κάνει με το ότι ολοκληρώνεις σε 2 διαστάσεις (επιφάνεια).

mathmari έγραψε:

Επίσης πως βρήκαμε την σχέση:
\cos{\gamma}=\frac{|\nabla{F} \cdot \hat{n}|}{|\nabla{F}|} :?:


Λογικά το F(x,y,z)=c είναι η επιφάνειά σου (πάνω στην οποία θέλεις να βρεις τη ροή), οπότε το ανάδελτα του F (=gradF) είναι τι διάνυσμα που είναι κάθετο στην επιφάνεια. Θέλεις το συνημίτονο της γωνία της επιφάνειας (τοπικά στο σημείο του ΔΡκ) με το οριζόντιο επίπεδο, άρα θα στραφείς στο εσωτερικό γινόμενο του gradF μοναδιαίο διάνυσμα προς τα πάνω n=k=ez. Παίρνεις το εσωτερικό γινόμενο και λύνεις ως προς το cosγ. Εννοείται ότι το μέτρο του n είναι 1.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επιφανειακό ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Μάιος 2014, 16:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Σεπ 2012, 18:29
Δημοσ.: 118
little_george έγραψε:
Λογικά το F(x,y,z)=c είναι η επιφάνειά σου (πάνω στην οποία θέλεις να βρεις τη ροή), οπότε το ανάδελτα του F (=gradF) είναι τι διάνυσμα που είναι κάθετο στην επιφάνεια. Θέλεις το συνημίτονο της γωνία της επιφάνειας (τοπικά στο σημείο του ΔΡκ) με το οριζόντιο επίπεδο, άρα θα στραφείς στο εσωτερικό γινόμενο του gradF μοναδιαίο διάνυσμα προς τα πάνω n=k=ez. Παίρνεις το εσωτερικό γινόμενο και λύνεις ως προς το cosγ. Εννοείται ότι το μέτρο του n είναι 1.


Στην αρχή είχαμε την σχέση:
\cos{\gamma}=\frac{\Delta A_k}{\Delta P_k}

Το κάθετο διάνυσμα του \Delta P_k είναι το \nabla{F}.
Μήπως το κάθετο διάνυσμα του \Delta A_k είναι το \nabla{F} \cdot \hat{n} ; Και έτσι να καταλήξουμε στη σχέση \cos{\gamma}=\frac{|\nabla{F} \cdot \hat{n}|}{|\nabla{F}|} ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επιφανειακό ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Μάιος 2014, 19:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 16 Δεκ 2010, 15:16
Δημοσ.: 296
Προσοχή: το gradF * n δεν είναι διάνυσμα, είναι εσωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων άρα αριθμός. Είναι η προβολή του gradF στη διεύθυνση του n. Το n είναι το κάθετο διάνυσμα στο ΔΑκ αφού το ΔΑκ βρίσκεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και το n είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που είναι παράλληλο στον άξονα των z.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επιφανειακό ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Ιουν 2014, 12:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Σεπ 2012, 18:29
Δημοσ.: 118
little_george έγραψε:
Προσοχή: το gradF * n δεν είναι διάνυσμα, είναι εσωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων άρα αριθμός. Είναι η προβολή του gradF στη διεύθυνση του n. Το n είναι το κάθετο διάνυσμα στο ΔΑκ αφού το ΔΑκ βρίσκεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και το n είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που είναι παράλληλο στον άξονα των z.


\nabla \overrightarrow{F} : κάθετο διάνυσμα του \Delta P_k
\hat{n}=\hat{k} : κάθετο διάνυσμα του \Delta A_k

Εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \nabla \overrightarrow{F} και \hat{n}=\hat{k}:
\nabla \overrightarrow{F} \cdot \hat{n}=|\nabla \overrightarrow{F}| \cdot |\hat{n}|\cdot \cos{\gamma}
\Rightarrow \cos{\gamma}=\frac{\nabla \overrightarrow{F} \cdot \hat{n}}{|\nabla \overrightarrow{F}|}

Επειδή το \nabla \overrightarrow{F} \cdot \hat{n} είναι αριθμός ισχύει \nabla \overrightarrow{F} \cdot \hat{n}=|\nabla \overrightarrow{F} \cdot \hat{n}|, σωστά;

Άρα \cos{\gamma}=\frac{|\nabla \overrightarrow{F} \cdot \hat{n}|}{|\nabla \overrightarrow{F}|}.

Είναι σωστό έτσι όπως το διατύπωσα;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επιφανειακό ολοκλήρωμα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Ιουν 2014, 08:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 16 Δεκ 2010, 15:16
Δημοσ.: 296
Επί της ουσίας ναι, είναι σωστό. Υπάρχει ένα σημείο στο οποίο κάτι δεν πάει καλά με την αυστηρότητα. Δεν είναι σωστό να πεις ότι επειδή το εσωτερικό γινόμενο είναι αριθμός τότε είναι ίσος με την απόλυτη τιμή του γιατί μπορεί το εσωτερικό γινόμενο να είναι αρνητικό πχ όταν η γωνία των διανυσμάτων είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Κάτι τέτοιο στο σχήμα θα σήμαινε ότι το gradF (που είναι το κάθετο στην επιφάνεια διάνυσμα) δείχνει προς τα κάτω (σχεδόν). Θα πρέπει να δω με λεπτομέρεια όλη την απόδειξη και να εξασφαλίσουμε ότι δεν έχει γίνει και κάποιο τυπογραφικό λάθος γιατί κάποια στιγμή παρακάτω σε αυτά που γράφεις φεύγει το μέτρο. Επίσης το dA είναι διάνυσμα και πολλαπλασιάζεται εσωτερικά με το gradF. Κάτι παίζεται εκεί με το πρόσημο. Καλύτερα το συγκεκριμένο σημείο να το ρωτήσεις σε κάποιο διδάσκοντα καθώς οι αυστηρές διατυπώσεις δεν είναι το φόρτε μου και δε θέλω να σε πάρω στο λαιμό μου. Εμένα προσωπικά δε θα με χάλαγε να είναι ένα συνημίτονο (χωρίς μέτρα) και να έβγαινε και αρνητική η ροή... πράγμα που σημαίνει ότι το διανυσματικό πεδίο που τρυπάει την επιφάνεια έχει αντίθετο προσανατολισμό από την επιφάνεια.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group