forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 24 Μάιος 2018, 13:45

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Μια άσκηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Μαρ 2007, 17:27 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 14 Μαρ 2007, 20:03
Δημοσ.: 7
Τοποθεσια: Αθήνα
Γειά σε όλους. Είναι η πρώτη φορά που γράφω στο forum! :) Ας δώσω λοιπόν μια άσκηση ( μπας και μάθω λιγάκι τη latex). Λοιόν, έστω [tex]f[/tex] συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [tex](0 , \infty)[/tex] για την οποία είναι γνωστό οτι [tex]lim_{x\to\infty}( f(x) + f'(x) ) = 0[/tex]. N.δ.ο [tex]lim_{x\to\infty}f(x) = 0[/tex].

_________________
Το καλό με τα μαθηματικά ειναι οτι μπορείς να ψάχνεις απαντήσεις χωρίς να κοιτάζεις κάπου συγκεκριμένα... Το καλύτερο ειναι οτι καμιά φορά τις βρίσκεις...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μια άσκηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Μαρ 2007, 00:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Ιουν 2006, 23:21
Δημοσ.: 262
Τοποθεσια: Αχαρναί
Καλώς ήρθες στο forum!

Αυτή η άσκηση είναι ένα από μερικά αποτελέσματα που οφείλονται στο Hardy και είναι γνωστά ως πρόβλημα του Hardy. Ας γράψουμε μερικά κι ας δώσω μια ιδέα για την επίλυση της άσκησης που πρότεινες.

Σε όλα τα παρακάτω θεωρούμε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση [tex]f:[0,\infty)\to \mathbb R[/tex].

1. Aν [tex]\lim_{x\to \infty}f'(x)=\infty[/tex], τότε [tex]\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty[/tex]. (υπόδειξη. Αποδείξτε ότι υπάρχει [tex]\delta>0[/tex] ώστε [tex]f(x)>x+f(\delta)-\delta[/tex] για κάθε [tex]x>\delta[/tex])

2. Αν [tex]\lim_{x\to \infty} f'(x)=a\in \mathbb R[/tex] τότε [tex]\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=a[/tex].

3. Αν [tex]\lim_{x\to \infty}f(x)=a\in\mathbb R[/tex] τότε η [tex]f'[/tex] δε μπορεί να έχει άλλο όριο εκτός από το [tex]0[/tex].

4. Aν [tex]\lim_{x\to \infty}\{f'(x)+f(x)\}=b\in\mathbb R[/tex] τότε [tex]\lim_{x\to \infty}f'(x)=0[/tex] και [tex]\lim_{x\to\infty}f(x)=b[/tex].

Εμείς θέλουμε μια λύση στο 4 όταν [tex]b=0[/tex]. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις σχετικά με το πρόσημο της [tex]f'[/tex].

(α) Αν [tex]f'(x)>0[/tex] για μεγάλες τιμές του [tex]x[/tex] τότε είναι γνησίως αύξουσα για αυτές τις τιμές και άρα το όριο [tex]\lim_{x\to\infty}f(x)[/tex] υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός ή ισούται με [tex]\infty[/tex]. Αν [tex]\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty[/tex], τότε [tex]\lim_{x\to\infty}f'(x)=-\infty[/tex] και αυτό αντίκειται στη υπόθεση. Αν [tex]\lim_{x\to\infty}f(x)=l[/tex] τότε [tex]\lim_{x\to \infty}f'(x)=-l[/tex] και από το 3 έχουμε ότι [tex]l=0[/tex].

(β) Όμοια αποδεικνύεται η περίπτωση όπου η [tex]f'[/tex] είναι αρνητική για μεγάλες τιμές του [tex]x[/tex].

(γ) Αν η [tex]f'(x)[/tex] παίρνει και θετικές και αρνητικές τιμές για μεγάλες τιμές του [tex]x[/tex] από το θεώρημα Darboux μηδενίζεται και αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν των ριζών, επομένως είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων. Θεωρώντας τώρα αρκετά μεγάλο [tex]x[/tex] που αποτελεί θέση ακροτάτου τότε είναι [tex]f'(x)=0[/tex] και το [tex]f'(x)+f(x)[/tex] αρκετά μικρό. Άρα το [tex]f(x)[/tex] είναι αρκετά μικρό. Έτσι μπορείς να δείξεις ότι [tex]f(x)\to 0[/tex] καθώς [tex]x\to \infty[/tex].

Η γενική περίπτωση του 4 προκύπτει άμεσα από την απόδειξη που περιγράψαμε θέτοντας [tex]g(x)=f(x)-b[/tex] και παρατηρώντας ότι [tex]g'(x)+g(x)\to 0[/tex] καθώς [tex]x\to\infty[/tex].


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Μαρ 2007, 03:28 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 14 Μαρ 2007, 20:03
Δημοσ.: 7
Τοποθεσια: Αθήνα
Ωραίος! :thumbup:
θα προσπαθήσω να απαντήσω στο (1) και στη συνέχεια θα δώσω
τη δικια μου προσέγγιση (που ελπιζω να είναι και σωστή...). ΛΟιπόν:
Εφόσον [tex]lim_{x\to\infty}f'(x)=\infty[/tex] υπάρχει [tex]\delta[/tex]
τέτοιο ώστε [tex]f'(\delta)>1[/tex] και [tex]f'(x)>f'(\delta)[/tex] για κάθε
[tex]x>\delta[/tex], στο διάστημα [tex][\delta,x][/tex] από το θεώρημα μέσης τιμής έχουμε
[tex]f'(\psi)=\frac{f(x)-f(\delta)}{x-\delta}>1[/tex], οπότε [tex]f(x)>x-\delta +f(\delta)[/tex]
και επειδή [tex]f(\delta)>\delta [/tex], (αφού [tex]f'(\delta)>1[/tex]) έχουμε το ζητούμενο.

Τωρα για την άσκηση:

Έστω [tex]lim_{x\to\infty}f(x)[/tex] διάφορο του μηδενός.
Θέτουμε [tex]h(x)=e^xf(x)[/tex] και [tex]g(x)=e^x[/tex] και έχουμε
[tex]lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))=lim_{x\to\infty}\frac{(e^xf(x))'}{e^x}=lim_{x\to\infty}\frac{h'(x)}{g'(x)}=0[/tex].
Mένει να εξετάσουμε την τιμή της [tex]f[/tex] στο [tex]+\infty[/tex].
Αν παίρνει πραγματική τιμή ή παίρνει την τιμή [tex]-\infty[/tex] έχουμε άτοπο.(λόγω (3,4))
ενώ αν παίρνει την τιμή [tex]+\infty[/tex] από τον κανόνα de l'Hospital έχουμε οτι [tex]lim_{x\to\infty}\frac{h'(x)}{g'(x)}=lim_{x\to\infty}\frac{h(x)}{g(x)}=lim_{x\to\infty}f(x)=0.[/tex]
Έλπίζω να είναι σωστός ο συλλογισμός μου... Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον :)

_________________
Το καλό με τα μαθηματικά ειναι οτι μπορείς να ψάχνεις απαντήσεις χωρίς να κοιτάζεις κάπου συγκεκριμένα... Το καλύτερο ειναι οτι καμιά φορά τις βρίσκεις...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group